П. 1. Системы координат

Координаты и векторы

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ГЕОМЕТРИИ

Прямоугольная декартова система координат (рис. 1) на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, пересекающимися в данной точке О. На прямых фиксируются лучи ох и оу и равные единичные отрезки ОЕ₁, ОЕ₂. Векторы называются ортонормированным базисом на плоскости, точка О – началом координат. Каждой точке М плоскости сопоставляется пара чисел (х; у), называемых координатами точки М, причем ММ₁ || oy, MM₂ || ox, .

Уравнение называется уравнением линии в неявном виде, если ему удовлетворяют координаты любой точки этой линии и любая пара чисел , удовлетворяющая уравнению , представляет собой координаты точки линии.

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом : .

Линия на плоскости может быть задана:

а) аналитически общим уравнением ,

б) аналитически явной функцией ,

б) аналитически параметрическими уравнениями

.

Параметрические уравнения окружности с центром в точке и радиусом : .

Если фигура задана уравнением , а фигура задана уравнением , то пересечение фигур задается системой

или условием ,

а объединение фигур задается совокупностью

или условием .

Связь между декартовыми прямоугольными координатами точки М при:

а) параллельном переносе (рис. 2) системы координат на вектор :

б) при повороте (рис. 3) системы координат на угол

,

в) при параллельном переносе на вектор и повороте на угол :

Полярная система координат на плоскости (рис. 4) задается точкой О (полюс) и лучом (полярная ось) с указанием единичного отрезка на оси. Каждой точке плоскости сопоставляется пара чисел , где , а - ориентированный угол, образованный вектором с полярной осью. Угол выбирается из множества .

Связь между декартовыми и полярными координатами точки для систем координат, указанных на рис. 5:

При нахождении угла по заданным декартовым координатам х и у предварительно уточняется расположение точки М относительно четвертей координатной плоскости, т.к. отношение у: х не определяет однозначно угол.

Прямоугольные декартовы координаты точки М в пространстве:

║, ║, ║,

,

Для двух точек :

а) расстояние между точками равно

,

б) вектор ,

в) координаты середины отрезка

,

г) координаты точки , делящей отрезок в отношении , т.е. точки для которой выполняется равенство :

Для треугольника с вершинами координаты центра тяжести треугольника, т.е. точки пересечения медиан, равны

.

Уравнение называется уравнением поверхности в неявном виде, если ему удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности и любая тройка чисел , удовлетворяющая уравнению , является координатами точки поверхности.

Уравнение сферы с центром в точке и радиусом : .

Цилиндрические координаты точки в пространстве:

, , (Рис. 7)

Связь между декартовыми координатами и цилиндрическими координатами

.

Сферические координаты точки в пространстве

, , ,

Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами

,

Дата добавления: 2014-10-31