Сложная функция и ее производная

Определение. Сложная функция - это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = h (х), то у - cложная функция от х, то есть y = f (h (x)), определённой для тех значений х, для которых значения h (х) входят в множество определения функции f (u).

Например, если y=u² и u=1+x³, то у - сложная функция от х, что можно записать следующим образом: y=(1+x³)²

В примере: у - сложная функция независимого аргумента х, а u - промежуточный аргумент.

Дифференцирование сложной функции (ТЕОРЕМА): Производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Коротко можно сказать так: Производная сложной функции равна произведению производных от функций, ее составляющих, т.е.

Например:

Рассмотрим функцию y= (2x²- 1)³. Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из кубической функции y=f(u)=u³и квадратичной u=g(x)=2x²- 1. Тогда производная исходной функции находится следующим образом:

y=f(u)=u³, u=g(x)=2x²- 1.

y' = f '(u)∙u'(x) = (u³)'∙(2x²- 1)' = 3u²∙(2∙2x-0) = 3u²∙4x = 12u²x

Вспомним, что функция u - промежуточная и введена нами для удобства нахождения производной от сложной функции, теперь нам надо вернуться обратно, подставив вместо этой промежуточной функции ее выражение: u=2x²- 1.

y'=12u∙x=12(2x²-1)=24x³-12x

Дата добавления: 2014-10-31