Уравнение касательной и нормали к графику функции

Приложения производной.

5.1. Геометрический смыл производной:

Рассмотрим график функции y = f (x).

Из рисунка 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: , где α - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.

Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A, т.е. . Отсюда следует: Производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. .

1. Касательной к графику функции в точке (х_0; f(х₀) называется предельное положение секущей (АС).

Уравнение касательной: y – f (x ₀) =

2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х_0; f(х₀), называется нормалью к графику функции.

Уравнение нормали: y – f (x ₀) =

Задача: Составить уравнения касательной и нормали, проведённых к графику функции y=10x-xв точке с абсциссой равной х₀=2.

Решение:

1. Находим ординату точки касания: f(х₀)= f(2)=10∙2–2² =16,

2. Находим угловой коэффициент касательной: f^'(х)= (10x-x)^'=10-2х, = f^' (2)=10–2∙2=6

3. Составляем уравнение касательной: y–16 = 6∙ (х-2), y–16 = 6х–12, y–6х–4 = 0 – уравнение касательной,

4. Составляем уравнение нормали: y –16 = , 6y –96 = –х+2, 6y+х–98=0 – уравнение нормали.

5.2. Физический смысл производной:

Определение. Скорость движения тела равна первой производной от пути по времени:

5.3. Механический смысл производной:

Определение. Ускорение движения тела равно первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени:

Задача: Определить скорость и ускорение точки, движущейся по закону в момент t=4c.

Решение:

1. Находим закон скорости: v= S'=

2. Находим скорость в момент t = 4c: v (t)= v (4)=2∙4²+8∙4=64 ед/сек

3. Находим закон ускорения: а=v′ =

4. Находим ускорение в момент t = 4c: а (t)= а( 4)=4∙4+8=24 ед/сек²

РАЗДЕЛ 1.3. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х) ∙ ∆х (1).

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так: dy=ƒ'(х) ∙ dх (2)иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х).

Пример1: Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находимdy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Пример2: Найти дифференциал второго порядка функции: y = x³ –7x.

Решение:

РАЗДЕЛ 1.4. Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла.

Определение1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, дифференциал которой равен выражению f(x)dx. Пример: f(x) = 3х² 3х²dx F(x) = х³.

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их. Рассмотрим на примере: F₁(x) = х³, F₂(x) = х³ + 4, F₃(x) = х³ - 2, в общем виде F(x) + С, где С - произвольная константа. Значит для функции f(x)= 3х² существуют множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Определение2. Множество всех первообразных функций f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от функций f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx.

Этот символ читается так: “интеграл от f(x) по dx”, таким образом по определению:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Символ ∫ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, F(x) - какая-либо первообразная,

С - постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ∫ d F(x) = F(x) + С

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx, k-const.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них: ∫ (f₁(x)+f₂(x)-f₃(x))dx = ∫ f₁(x)dx + ∫ f₂(x)dx – ∫f₃(x)dx.

Дата добавления: 2014-10-31