Дисперсия дискретной случайной величины

Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой причине рассматриваются и другие числовые ха­рактеристики. Пусть Х — случайная величина, а М(Х) — ее математическое ожидание.

Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Пусть закон распределения случайной величины Х дается формулой (18.1), тогда отклонение X - M(X) имеет следующий закон распределения:

Отклонение имеет важное свойство, которое устанавливается непосредственно из свойств математического ожидания:

т.е. математическое ожидание отклонения равно нулю.

Пример 5. По данным примера 3 найти закон распределения отклонения числа проданных за день автомашин.

Решение. Как было подсчитано в примере 3, М(Х) = 2,675. Тогда, согласно (18.8), искомый закон определяется следующей таблицей:

На практике важной характеристикой является рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Среднее значение отклонения, соглас­но (18.9), равно нулю, так как суммируются отрицательные и положительные отклонения (см. пример 5), поэтому целесооб­разно ввести в рассмотрение абсолютные значения отклонений или их квадраты.

Определение 3. Математическое ожидание квадрата откло­нения называется дисперсией, или рассеянием:

Пусть случайная величина задана законом распределения (18.1), тогда квадрат отклонения этой случайной величины имеет следующий закон распределения:

Отсюда, согласно формуле (18.10), получаем формулу диспер­сии в развернутом виде:

При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользо­ваться формулой, которая непосредственно выводится из фор­мулы (18.10):

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа ав­томашин по данным примера 3.

Решение. Закон распределения случайной величины X ² имеет вид

Математическое ожидание М(Х ² ) подсчитывается из этой таб­лицы:

Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, со­гласно формуле (18.11), получаем искомую величину диспер­сии:

Дата добавления: 2014-10-15