Сингулярное разложение матриц

0 0 1.0000

0 1.0000 0

0.8127 0.8165 0.8165

4 9 15

6 12 19

Дефектные матрицы

I

I 0

Диагональная декомпозиция

Имея диагональную матрицу Λ, составленную из собственных значений λ матрицы А и мат-рицу V, составленную из соответствующих собственных векторов v, можно записать

AV = VΛ

Если матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы А

А = VΛV^-1

Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше мат-рица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения

lambda = eig(A)

дает следующий вектор-столбец собственных значений (два из них являются комплексно-сопряженными)

lambda =

-3.0710

-2.4645 + 17.6008i

-2.4645 - 17.6008i

Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечи-вает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.

При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выда-ет собственные значения в виде диагональной матрицы

.

[V,D] = eig(A)

V =

-0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i

-0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i

-0.4248 -0.6930 -0.6930

D =

-3.0710 0 0

Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.

Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, рав-на, в пределах погрешностей округления, матрице D.

Некоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек-тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица А имеет вид

A =

-9 -20 -33

Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает

V =

-0.4741 -0.4082 -0.4082

-0.3386 -0.4082 -0.4082

D =

-1.0000 0 0

Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-висимых собственных векторов не существует (и поэтому не существует обратная матрица V^-1).

Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-трицы A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотноше-ния

Av = σu

A^Tu = σv

Имея диагональную матрицу сингулярных чисел Σ и две ортогональные матрицы U и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать

AV = U Σ

A^TU = V Σ

Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-ного разложения

A = U ΣV^T

Полное сингулярное разложение матрицы А размера m х n включает m х m матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными, а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столб-цов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столб-цов умножаются на нули в Σ. В таких ситуациях может быть использована так называемая экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матри-цы U размера mхn, матрицы Σ размера nхnи той же матрицы V.

Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда пос-ледняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рас-смотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений отно-сятся ко второй категории. Если матрица А является квадратной, симметричной и поло-жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении A от симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной мат-рицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.

Дата добавления: 2014-10-15