Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Г. Стаханов 1 страница




Методические рекомендации к выполнению типового расчёта

 

Дисциплина: “ Теория вероятностей”

 

Специальность: 5.080405 “Программирование для электронно-вычислительной

техники и автоматизированных систем ”.

 

 

  Подготовила: С. И. Хвастова
   
  Рассмотрено на заседании цикловой комиссии научных дисциплин  
  Протокол №____ от ” _____ ” ___________
   
   
   
   

 

 

 

 


Содержание:

1. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ. стр.3

2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. стр.5

3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА. стр.8

4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ В НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЯХ. стр.14

5. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА. ФОРМУЛА ПУАССОНА. стр.15

6. ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ. стр.20

7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. стр.21

8. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ЛЯПУНОВА стр.29

 

 


1. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ

Если события А12,…,Аn обладают всеми тремя свойствами, т.е. являются равновозможными, несовместными и образуют полную группу, они называются случаями (или «шансами»), а про испытание говорят, что оно сводится к схеме случаев.

Вероятность события характеризует степень его объективной возможности. Если испытание сводится к схеме случаев, то вероятность события А можно вычислить исходя из классического определения вероятности: вероятность события А равна отношению числа m благоприятствующих этому событию исходов испытания к общему числу nвсех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т.о.

.

Относительной частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний m,в которых событие появилось, к общему числу n произведённых испытаний, т.е.

.

При небольшом числе испытаний относительная частота события носит случайный характер, и может заметно изменяться от одной серии испытаний к другой. Однако при увеличении числа испытаний относительная часть события всё больше теряет свой случайный характер, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторому постоянному числу, которое является вероятностью события. Математическую формулировку этого свойства устойчивости относительной частоты впервые дал Я. Бернулли. Он доказал, что при неограниченном увеличении числа испытаний с практической достоверностью можно утверждать, что относительная частота события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности в отдельном испытании. В связи с этим используют статистическое определение вероятности: за вероятность события принимают относительную частоту этого события при большом числе испытаний.

Пример 1.1. На каждой из шести карточек начертана одна из следующих букв: а, о, и, м, н, р. Наудачу извлекают по одной три карточки, и кладут их последовательно рядом. Найти вероятность того, что получится слово «мир».

Решение. Общее число равновозможных, несовместных и образующих полную группу элементарных исходов испытания равно числу размещений из шести элементов по три, т.е. n=A36=6ּ5ּ4=120. Следовательно, искомая вероятность Р(А)=.

Пример 1.2. В партии из 25 деталей имеется четыре бракованные. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки пяти деталей две окажутся бракованными.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, с помощью которых можно извлечь пять деталей из 25, т.е. числу сочетаний из 25 элементов по пять:n=. Эти исходы испытания равновозможны, несовместны, и образуют полную группу. Посчитав количество исходов, благоприятствующих, событию А (среди пяти взятых наудачу деталей две бракованные). Две бракованные детали можно взять из четырёх бракованных способами; остальные три не бракованные детали можно взять из 21 не бракованной детали, находящейся в партии, способами. Следовательно число благоприятствующих исходов m=ּ. Искомая вероятность .

Пример 1.2. Книги некоторого четырёхтомного издания сочинений расставляют наудачу на полке. Найти вероятность того, что все четыре тома будут расставлены в порядке возрастания номеров.

Решение. Общее число элементарных исходов испытания (несовместных, равновозможных, образующих полную группу) равно числу перестановок из четырёх элементов, т.е. n=Р4=4!=24. Данному событию благоприятствует только один исход (тома расставлены в таком порядке:1, 2, 3, 4), т.е. m=1. Искомая вероятность .

Пример 1.4. В партии 200 деталей отдел технического контроля обнаружил шесть нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Решение. Относительная частота события равна отношению числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу произведённых испытаний. ОТК проверил 200 деталей и обнаружил при этом шесть нестандартных. Следовательно, относительная частота появлениянестандартных деталей

Варианты задачи I.

1.1. В ящике имеется 12 деталей, среди которых восемь окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей окажется две окрашенные.

1.2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 216 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три; г) ни одной.

1.3. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, е, ч, б, г, к, н. Наудачу извлекают по одной пять карточек и кладут их "в одну линию". Найти вероятность того, что получится слово "книга".

1.4. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры и, зная, что эти цифры разные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что он набрал нужные цифры.

1.5.В группе 25 студентов, из них четыре отличника. По списку наудачу выбраны фамилии пяти студентов. Найти вероятность того, что среди них три отличника.

1.6. Шесть различных книг расставляют наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.

1.7. В цехе работают семь мужчин и пять женщин. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди них окажется четыре женщины.

1.8. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых три бракованные, наудачу извлекают три изделия для контроля. Нейти вероятность того, что среди них будет одно бракованное.

1.9. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, в, о,к, р, т. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырёх вытянутых по одной и расположенных в "одну линию" карточках будет слово "море".

1.10. В замке на одной оси четыре диска. Каждый диск разделен на пять секторов, на которых написаны различные буква. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

1.11. Из партии шестерен, среди которых 16 годных и четыре бракованных, для контроля наудачу взяли пять штук. Найти вероятность того, что среди взятых шестерен три годные.

1.12. Одновременно бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхнихгранях, раина шести.

1.13. В лотерее имеется 12 билетов, из них шесть выигрышных. Выбирают наудачу два билета. Найти вероятность того. что среди них один выигрышный.

1.14. Найти вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр, если известно, что все номера четырехзначные, начиная с 0001, неповторяющиеся и равновозможные.

1.15. В конверте среди 50 карточек находятся одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены пять карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

1.16. Устройство состоит из шести элементов, два из которых изношены. При включении устройства два элемента включаются случайным образом. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

1.17. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 расставлены случайным образом. Найти вероятность того, что 1 и 2 будут расположены рядом и притом в порядке возрастания.

1.18. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

1.19. Ящик содержит 90 годных и 10бракованных деталей. Найти вероятность того, что среди пяти вынутых наудачу деталей бракованных нет.

1.20. Ребёнок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки: а, а, м, м. Найти вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд у него получится слово "мама".

1.21. При наборе номера телефона абонент забыл две последние цифры, и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечётные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

1.22. Из 50 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 40. Найти вероятность того, что в вытянутый билет, содержащий три вопроса, входят подготовленные вопросы.

1.23.Найти вероятность того, что среди пяти случайно взятых цифр нет одинаковых.

1.24. Из букв разрезной азбуки составлено слово "мопед". Карточки перемешивают, затем извлекает наудачу три, и кладутих в порядке вынимания. Найти вероятность того, что получится слово "дом".

1.25. Среди 20 студентов группы, из которых восемь девушек, разыгрывают семь билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажется четыре девушки.

1.26. Найти вероятность того, что окажется единицей последняя цифра:а) квадрата; б) четвертой степени выбранного наудачу, целого числа.

1.27. Найти вероятность того, что среди трёх выбранных наудачу цифр: а) нет цифры 5; б) нет цифры 0; в) нет цифр 0 и 5.

1.28. Участник лотереи "Спортлото"из 36 видов спорта (обозначенных цифрами от 1 до 36) должен назвать пять. Найти вероятность того, что участник лотереи угадает три названия.

1.29. В лифте пять пассажиров; лифт останавливается на восьми этажах. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах, предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.

1.30. Из колоды карт (36 шт.) вынимают наудачу две карты. Нейти вероятность того, что это десятка и туз.

 

2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Если события А и В несовместны, то их сумма А+В - Это событие, состоящее в появлении события А или В.

Произведением АВ событий А и В называется событию, состоящее в совместном появлении событийА и В. Если события А и В несовместны, тоих произведением АВ есть невозможное событие. Аналогично определяются сумма и произведение нескольких событий.

Теорема сложениявероятностей для несовместных событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий ровна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Эта теорема применима к любому числу несовместных событий. Рассмотрим следствия, вытекающие из этой теоремы.

Следствие 2.1. Если события А1, А2,..., Аn несовместны и образуют полную группу, то суммаих вероятностей равна единице:

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу. Событие, противоположное событию А, обозначается .

Следствие 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равнаединице: Р(А)+Р()= 1.

Условной вероятностью Р() события А называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что событие Впроизошло.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого, вычисленной в предположении, что первое событие наступило:

Р(АВ)=Р(А)Р()=Р(В)Р().

Если события А и В независимы (т.е. появление одногоиз них не меняет вероятности появления другого), то

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Теорему умножения вероятностей можно обобщить на случай произвольного числа события.

Пример 2.1. В ящике 10 деталей, из них восемь стандартных. Из ящика вынимают наудачу три детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали стандартные.

Решение. Рассмотрим событие А - все три извлеченные детали стандартные. Событие А является произведением трех событий: А=А1 А2 А3, где А1, А2, А3 - событие, состоящее в том, что соответственно первая, вторая и третья извлечённая деталь стандартная. По теореме умножения вероятностей

Р(А)=Р(А1)Р()Р();

Р(А1)=, Р()=, Р()=.

Следовательно, искомая вероятность

Р(А)=.

Пример 2.2. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом, второй и третьем выстреле равна соответственно р1 = 0,6; р2 = 0,7; р3= 0,8. Найти вероятность того, что в результате этих трёх выстрелов будит: а) одно попадание в мишень; 6) хоти бы одно попадание в мишень.

Решение. А. Рассмотрим событие А - одно попадание в мишень в результате трёх выстрелов. Это событие может осуществиться такими способами: может бить попадание при первом выстреле и промахи при втором и третьем, или попадание при втором выстреле и промахи при первом и втором, или попадание при третьем выстреле и промахи при первом и втором. Следовательно, А=А1++, А1, А2, А3 –попадание соответственно при первом, втором, третьем выстреле; , , - промах соответственно при первом, второму третьем выстреле.

События В11, В2=, В3=несовместны. Поскольку события А1, А2, А3 независимы, независимы также и события А1, и и ;, А2и. ; , и А3. Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей, получаем. Р(А)=Р(А1)Р()Р()+Р()Р(А2)= I - 0.+Р()Р()Р(А3);

Р(А1) = 0,6; Р(А2) = 0,7; Р(А3) = 0,8;

Р() = I - 0.6; Р() == I - 0.7 = 0,3; Р() = I - 0.8 = 0,2.

Окончательно Р(А) = 0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.

Б. Рассмотрим событие С - хотя бы одно попадание в мишень в результате трёх выстрелов. Пусть - событие, противоположное событию С, т.е. событие состоит в том, что не будет ни одного попадания в мишень. Очевидно, что = . По теореме умножения вероятностей Р()=Р()Р() Р()= 0,4·0,3·0,2 = 0,024. Используя следствие 2.2 теоремы сложения вероятностей, получаем Р(С)=1-Р()=1-0,024=0,976.

Варианты задачи 2.

2.1. Для сигнализации об аварии установлено три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости сработает первое устройство, равна 0,85, второе - 0,9, третье - 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) хотя бы одно устройство.

2.2. Три спортсмена участвует в отборочных соревнованиях. Вероятность зачисления в сборную команду первого, второго и третьего спортсмена соответственно равна 0,9; 0.6; 0,8. Найти вероятность того, что: а) только один спортсмен попадет в сборную; б) только два спортсмена попадут в сборную; в) хотя бы один спортсмен попадет в сборную.

2.3. Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрели, уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что: а) он промахнется все 3 раза; б) попадет 2 раза; в) попадет хотя бы I раз.

2.4. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопрос, равны, но 0,9, на третий - 0,85. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопроси; б) хотя бы на два вопроса.

2.5. Два стрелка производи по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,9, для второго - 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) только один стрелок поразят мишень; в) хотя бы один стрелок поразит мишень.

2.6. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определённой последовательности: следующий охотник стреляет только в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания в цель каждым охотником ровна 0,7. Найти вероятность того, что будет сделано выстрелов: а) один; б) два в) три; г) четыре.

2.7. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным двум либо пяти, либо тому и другому одновременно.

2.8. Бросают четыре игральных кубика. Найти вероятность того, что: а) на каждом из них выйдет одинаковое число очков; б) ни на одном кубике не выпадет четыре очка.

2.9. Из трех орудий выстрелили по цели. Вероятность попадания и цель при одном выстреле из первого орудия раина 0,7, из второго -0,8, из третьего - 0,6. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадет в цель; б) хотя бы один снаряд попадёт в цель; в) только два снаряда попадут в цель.

2.10. В партиииз 20 деталей четыре бракованные. Для проверки наудачу выбирают четыре детали. Партия бракуется, если срединих окажется больше двух бракованных деталей. Найти вероятность того, что партия будет забракована.

2.11. В двух урнах находятся шары, отличающихся только цветим,

причем в первой урне семь белых, восемь красных и 10 черных, во второй - 10 белых, 10 красных и пять черных шаров. Из двух урн наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.

2.12. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух

орудий равна 0,46. Найти вероятность попадания в цель при одной выстрела вторым из орудий, если известно, что для первого эта вероятность равна 0,7.

2 13 Рабочие обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, рав­на 0,7, второй - 0,6, третий - 0,8, четвертый - 0,5. Найти вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего:

а) только один станок; б) хотя бы один станок.

2.14. Числитель и знаменатель рациональной дроби написана наудачу. Найти вероятность того, что эту дробь нельзя сократить на пять.

2.15. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,6. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый пожат сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат призы.

2.16. В двух ящиках находятся детали: в первом 12 стандартных в три нестандартные, во втором 13 стандартных и две нестандартные. Из этих ящиков наудачу извлекает по одной детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажется одна стандартная.

2.17. Три стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,9, для третьего - 0,7. Найти вероятность того, что: а) только два стрелка поразят мишень; б) все три стрелка поразят мишень; в) хотя бы один стрелок поразит мишень.

2.18. Вероятность того, что событие А появится хотя бы I раз в трех независимых испытаниях, равна 0,784. Найти вероятность появления события А в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в каждом испытании одна и та же).

2.19. Партия из100 деталей подвергается выборочному контролю. Условие непригодности всей партии - наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Найти вероятность того, что данная партия будет не принята, если она содержит шесть неисправных деталей.

2.20. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,5. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в цель хотя бы I раз.

2.21. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является изделием первого сорта, если известно, что 3% всей продукции брак, а 80% не бракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

2.22. Наудачу подбрасывают два игральных кубика. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков четная; б) произволение выпавших очков четное; в) на одном из кубиков число очков четное, а на другом - нечетное.

2.23. Студент знает 25 из 30 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три яз четырех поставленных в билет вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет.

2.24. В двух ящиках находятся детали: в первом 12, из которых 10 окрашенных, во втором - 15, из которых 12 окрашенных. Из этих ящиков наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных окажется одна окрашенная.

2.25. В первом ящике два белых, три красных и пять синих, во втором - один белый, весть красных и три синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того, что среда вынутых шаров: а) нет красных; б) один синий.

2.26. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы (за время t) первого, второго, третьего и четвертого элемента соответственно равна: 0,9; 0,0; 0,7;0,6. Найти; вероятность того, что за время t безотказно будут работать: а) только два элемента; б) только три элемента; в) все четыре элемента.

2.27. Наугад подбрасывают, три игральных кубика. Найти вероятность того, что: а) на каждом кубике выпадет шесть очков; б) на каждой кубике выпадет одинаковое число очков; в) ни на одном кубика не выпадет пять очков.

2.28. Вероятность того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором и третьем ящике, соответственно равна 0,7; 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что нужная деталь находится: а) в двух ящиках; б) хотя бы в одном ящике; в) во всех трех ящиках.

2.29. Сколько раз нужно бросить два игральных кубика, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, можно было утверждать, что хотя бы I раз появится 12 очков?

2.30. Брак в продукция завода вследствие дефекта А составляет 5%. В продукции, не имеющей дефекта А, дефект В встречается в 3% случаев. Среди бракованной продушат в 60% случаев встречается дефект В. Найти вероятность того. что встретятся дефект В во всей продукции, еще не проходившей проверки.

3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА.

Если событие а может произойти только вместе с одним из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез и соответствующей условной вероятности события А:

Р(А)=, (3.1) где .

Эта формула называется формулой полной вероятности.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Бейеса, позволяющая переоценить вероятности гипотез после того, как в результате испытания появилось событие А. Условная вероятность гипотезы Нk:

(3.2) где А= 1, 2, ..., п.

Пример 3.1. Имеются две урны: в первой 13 белых и семь черных, во второй - четыре белых и шесть чёрных шаров. Из первой урны наудачу извлечены два шара, и переложены во вторую. Найти вероятность того, что наугад вынутый после этого из второй урны шар окажется белым.

Решение. Событие, состоящее в том, что из второй урны извлечен белый шар, обозначим через А Рассмотрим гипотезы: Н1 – из первой урны переложены во вторую два белых шара; Н2 - из первой урны переложены во вторую один белый и один чёрный шары; Н3 - из первой урны переложены во вторую дна чёрных шара.

События Н1, Н2, Н3 несовместны и образуют полную группу. Вероятности гипотез найдём. применив теоремы сложения и умножения вероятностей:




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 759; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.095 сек.