Тема 2.2. Различные виды уравнений плоскости

Вектор , перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат .

Различные виды уравнений плоскости:

1) уравнение плоскости с заданным вектором ее нормали и проходящей через точки , :

; (2.11)

2) общее уравнение плоскости:

; (2.12)

3) уравнение плоскости в «отрезках»:

, (2.13)

где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

4) уравнение плоскости, проходящей через три точки , , :

. (2.14)

Косинус угла между двумя плоскостями определяется как косинус угла между нормальными векторами этих плоскостей и :

. (2.15)

Расстояние d от точки до плоскости вычисляется по формуле:

. (2.16)

Пример 2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .

Решение. Запишем уравнение плоскости, воспользовавшись формулой (2.11): .

Раскрыв скобки, получим: .

Пример 2.13. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки с координатами и .

Решение. По условию плоскость проходит через три точки , , . Воспользуемся формулой (2.14):

. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид .

Пример 2.14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной двум векторам и .

Решение. Координаты вектора нормали найдем как векторное произведение и по формуле (2.7):

Теперь по формуле (2.11) составим уравнение плоскости: . Окончательно имеем:

.

Пример 2.15. Найти угол между плоскостями и .

Решение. Нормальные вектора исходных плоскостей и . Воспользуемся формулой (2.15):

.

Тогда .

Пример 2.16. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. По формуле (2.16) имеем: .

Дата добавления: 2014-10-31