Тема 3.3. Правило Лопиталя

Пусть и – дифференцируемые функции. Если и являются бесконечно большими или бесконечно малыми при , тогда

, (3.32)

при условии, что предел отношения производных существует.

Когда отношение производных приводит снова к неопределенности вида или , то правило Лопиталя применяют повторно. Перед его повторным применением рекомендуется произвести все допустимые упрощения.

Пример 3.17. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

Решение.

а) .

б) Имеем неопределенность вида , которую, приведя разность к общему знаменателю, сведем к неопределенности и воспользуемся правилом Лопиталя дважды:

.

в) При подстановке значения в функцию получаем неопределенность вида , которую можно свести к неопределенности или с помощью алгебраических преобразований, а затем применить правило Лопиталя:

.

г) Имеем неопределенность вида , которую можно свести к неопределенности с помощью тождества .

.

Здесь знак предела и знак функции поменяли местами на основании непрерывности показательной функции.

Далее вычисляем:

.

Таким образом, .

Аналогичным образом раскрываются неопределенности вида и .

Тема 3.4. Приложение производной к исследованию функций

Дата добавления: 2014-10-31