Монотонность и локальные экстремумы функции

Функция на интервале называется монотонной, если на этом интервале она не возрастает, т.е. , или не убывает всюду на данном интервале, т.е. .

Признак монотонности функции: функция , дифференцируемая на интервале , не убывает (не возрастает) на этом интервале тогда и только тогда, когда всюду на этом интервале.

Необходимое условие экстремума: если функция имеет локальный экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю или не существует: .

Внутренние точки области определения функции , в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками: .

Первое достаточное условие экстремума: если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки , кроме, может быть, самой точки , а ее производная при переходе через эту точку меняят знак с «+» на «–» (с «–» на «+»), то в точке функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие экстремума: если в критической точке функция дважды дифференцируема () и , то в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум).

Пример 3.18. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .

Решение. Вычислим производную:

.

Найдем критические точки, приравняв к нулю числитель и знаменатель.

.

Обе эти точки являются критическими, т.к. являются внутренними точками области определения функции.

Определим знак производной на каждом из интервалов , и .

Функция возрастает на интервалах и , а на интервале она убывает. При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, в этой точке достигается локальный максимум, . При переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», значит, – точка минимума, .

Дата добавления: 2014-10-31