Економічний аналіз результатів рішення і практичних рекомендацій

Основи симплексного методу розглянемо на прикладі:

Завод шампанських вин повинний виробити Совєтскоє шампанське двох марок: сухе і солодке. Для виробництва готової продукції підприємству виділені наступні види сировини: шампанські вино матеріали - 750 дав., коньячний спирт – 75 дав., сахарин-пісок – 65 кг. Норми витрати сировини на виробництво 1 тис. пляшок шампанського приведені в таблиці.

Сировина	Од. виміру	Норми витрати	Сировини на шампанське
		сухе	солодке
Виноматеріали	750 дав.
Коньячний спирт	75 дав.
Цукор	65 кг.

Прибуток від реалізації 1 тис. пляшок сухого і солодкого шампанського дорівнює відповідно 30 і 20 тис. грн. Визначити, скільки продукції кожного виду потрібно випустити, щоб сумарний прибуток був максимально можливим.

Розв’язати задачу симплексним методом та зробити економічний аналіз.

Розв’язання.

1. Система обмежень: Цільова функція

2. Система симплексних рівнянь: Цільова функція .

3. Симплексна таблиця. Зміст симплексних рівнянь визначає структуру симплексної таблиці, що складається з рядків і стовпців, що мають визначені значення.

Перший стовпець таблиці, позначений с_j, приділяється для показників критерію оптимальності (коефіцієнтів при невідомих цільовий функції), що вводяться в план випуску, другий стовпець – р₀ з підрядковим індексом – для невідомих, що включаються в план. Підрядковий індекс показує порядковий номер ітерації.

У стовпці х₀, називаному підсумковим, відбиваються вільні члени рівнянь. Інші стовпці призначені для коефіцієнтів при невідомих у рівняннях. У верхній частині цих стовпців записуються коефіцієнти при невідомих цільовий функції і відповідні невідомі.

Нижній рядок таблиці називається цільовий і містить показники, одержувані розрахунковим шляхом. Для першої, вихідної, таблиці ці показники розраховуються так: коефіцієнти кожного стовпця збільшуються на відповідні коефіцієнти стовпця с_j і отримані добутки суммируются. З отриманої суми по стовпці віднімається коефіцієнт, записаний у верхній частині таблиці.

Позначивши суму добутків по стовпці через z_j,величину, записувану в цільовому рядку по j – му стовпці, можна представити у виді різниці z_{j –} c_j.Це вираження записується в цільовому рядку перших двох стовпців. Третій стовпець містить прибуток випуску, що у вихідній таблиці дорівнює нулю. Усі дані, необхідні для рішення задачі симплексним методом, містяться в таблиці 2. У такому виді таблиця з наявними в ній показниками вважається готової для виконання обчислювальних операцій.

сj	P0	X0
X1	X2	X3	X4	X5
	X3
	X4
	X5
zj – cj		-20	-30

В останніх трьох стовпцях корпуса таблиці при додаткових невідомих містяться только одиниці, розташовані по діагоналі. Ця частина матриці називається одиничної подматрицей. Її наявність необхідна для обчислювального процесу у всіх випадках рішення задач симплексним методом.

4. Обчислювальний процес. Вихідна симплексна таблиця містить усі дані, необхідні для рішення задачі. Вона являє собою деякий варіант плану, що передбачає випуск фіктивних продуктів х₄, х₄, х₅ з нульовим прибутком. При рішенні задачі на максимум цільової функції наявність у цільовому рядку негативних чисел свідчить про те, що поліпшення плану можливо.

З вибору продукту, що повинний бути включений у програму випуску, починається рішення всіх задач симплексним методом. Для включення в план завжди вибирають той продукт, що має найбільшу абсолютну величину прибутку.

Стовпець, у якому знаходиться ця величина, виділяється жирними лініями. Виділений у таблиці стовпець з найбільшим прибутком називається ключовим.

При включенні в програму випуску продукту з найбільшим прибутком необхідно прагне до того, щоб увести його в план якнайбільше. Але ввести продукт у план випуску можна в такій кількості, що буде забезпечено набором сировинних ресурсів. Оскільки на виробництво продукції П₃ витрачається три види сировини, то, включаючи її в план, потрібно з'ясувати, який з цих видів сировини лімітує випуск даного продукту. Для цього необхідно елементи стовпця х₀ розділити на відповідні коефіцієнти ключового стовпця. Отримані від деления результаты сопоставляют між собою і вибирають найменший з них. Рядок, що містить ресурс, що лімітує, а, отже, що має найменший результат від розподілу, приймають за ключову; який, так само як і ключовий стовпець, виділяється жирними лініями. Елемент таблиці, що знаходиться на перетинанні ключового стовпця і ключового рядка, називається ключовим.

Після визначення ключового стовпця і ключового рядка перетворимо елементи таблиці. Для запису перетворених елементів будуємо нову таблицю. У неї з попередньої таблиці спочатку записуємо ключовий рядок. Вона займає те ж саме місце, але її показники перетворимо:

Далі перетворюємо всі інші елементи по формулі:

Всі нові значення заносимо до таблиці:

сj	P1	X0
X1	X2	X3	X4	X5
	X3						-7
	X4						-1
	X2	6,5	0,3				0,1
zj – cj		-11

Включення до плану випуску солодкого шампанського дозволяє мати доход в 195 тис. гривень. Переглянувши перетворені елементи цільового рядка, впевнюємося, що план неоптимальний і його можна покращити, так як маємо один від’ємний елемент. Виконуємо перетворення нової таблиці, взявши за ключовий стовпчик – стовпчик х₁, а за ключовий рядок – рядок х₄. Коли визначаємо ліміт, ми в результаті отримуємо два однакових результати: 295:59=5; 10:2=5, але вибираємо ту строчку де менший ресурс. Виконуємо обчислення та отримані дані заносимо в нову таблицю:

сj	P2	X0
X1	X2	X3	X4	X5
	X3						22,5
	Х1					0,5	-0,5
	X2					-0,15	0,25
zj – cj

В цільовому рядку всі показники додатні – це значить, що отриманий план оптимальний і подальше його покращення неможливе.

5. Економічний аналіз результатів розв’язку. Згідно з таблицею випуск 5 тисяч пляшок сухого та 5 тисяч пляшок солодкого шампанського дозволить підприємству мати прибуток 250 тисяч гривень.

Виконаємо перевірку, використовуючи симплексні рівняння: Отримані дані підтверджують правильність отриманого результату.

Контрольні запитання:

1. В чому заключається симплекс – метод?

2. Перечислити етапи симплексного метода.

3. Алгоритм обчислювального процесу симплексного метода.

4. Формули знаходження елементів ключового на всіх інших рядків.

5. Що називають:

- підсумковим стовпцем;

- цільовим рядком;

- ключовим стовпцем;

- ключовим рядком;

- ключовим елементом.

ЛЕКЦІЯ 7-9. Особливості та зміст транспортної задачі.

Дата добавления: 2014-10-31