Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицу A_m´n=(13.1)

Выделим в ней s произвольных строк и s произвольных столбцов.

Определение. Минором s–го порядка матрицы (13.1) называется определитель s-го порядка, составленный из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов. Обозначение: M_s.

Очевидно, что миноров s-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен min(m,n): max s=min(m,n). Из всех возможных миноров матрицы A_m´n выделим те, которые не равны 0.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: r(А)

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Замечание: равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Примеры. Определить ранг матрицы.

1) А=, r(A) = 0. M₁=0, M₂=.

2) А=. Очевидно, что a₁₂ = 3¹0 = M₁, все миноры М₂=0, следовательно, r(A) = 1.

3) А= ~ ~, r(A) = 2.

4) A=~, Следовательно, r(A) = 2.

Дата добавления: 2014-10-31