КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Прямая и плоскость
Задачи для самостоятельного решения а) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А (1, 2, 0) и В (2, 1, 1), перпендикулярно плоскости - х + у - 1 = 0.
б) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2 х - у + 3 z - 1 = 0, х + 2 у + z = 0.
в) Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2 х -3 у +6 z =6 и координатными плоскостями.
г) Исследовать взаимное расположение данных пар плоскостей. В случае их параллельности найти расстояние между ними, в случае пересечения - угол между ними: 1) -х + 2 у - z + 1 = 0, у + 3 z - 1 = 0; 2) 2 х - у + z - 1 = 0, -4 х + 2 у - 2 z - 1 = 0.
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде: . (9.10) На практике больше применяется каноническое уравнение прямой в пространстве (9.11) где (х 1, у 1, z 1) - точка, через которую эта прямая проходит, а = (l, m, n) - вектор, параллельный прямой, - направляющий вектор. Уравнение прямой, проходящей через две точки (х 1, у 1, z 1) и (х 2, у 2, z 2), имеет вид: (9.12)
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и Используя формулу (9.12), получаем Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости
Острый угол между двумя прямыми в канонической форме: и определяется по формуле:
(9.13)
Условия параллельности прямых в канонической форме:
l 1/ l 2 = m 1/ m 2 = n 1/ n 2. (9.14)
Условие ортогональности прямых:
l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. (9.15) Примеры. а) Привести уравнение прямой к каноническому виду. Решение Выразим из системы х через у и z: Следовательно,
б) Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
(х -2)/2 = (у- 1)/3 = (z - 3)/1. Решение. Запишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат и ортогональной заданной прямой. Так как направляющий вектор заданной прямой = (2, 3, 1) в этом случае ортогонален плоскости, то можно положить = и записать уравнение плоскости в виде 2 х + 3 у + z = 0. Найдем точку пересечения этой плоскости и прямой для чего решим систему: Из уравнения прямой, проходящей через две точки (9.12), получаем искомое уравнение прямой: или x = y /(-2) = z/ 4. в) Через прямую (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 проведем плоскость, параллельную прямой х/ (- 1) = (у + 2)/2 = (z - 3)/(-3). Решение.. Так как вектора 1 = (2, -1, 3) и 2 = (-1, 2, -3) (направляющие вектора прямых) параллельны плоскости, то их векторное произведение 12 ортогонально плоскости, т.е. может быть взято за вектор нормали плоскости. Итак, 3(-1, 1, 1).
Прямая (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 лежит в плоскости. Следовательно, и точка (-1, 1, 2), через которую она проходит, находится там же. Таким образом, искомое уравнение плоскости можно записать в виде -(х + 1) + (у - 1) + (z -2) = 0 или х - у - z + 4 =0.
Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 781; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |