Динамика. Следствия из преобразования Галилея

Следствия из преобразования Галилея. Инварианты преобразований (инвариантность длины, времени, ускорении, уравнений Ньютона)

Как известно, описывать движение можно только в том случае, если задана система отсчета. Но систем отсчета существует множество, и в каждой из них характеристики одного и того же самого движения могут принимать разные значения. Поэтому, необходимо уметь переходить с одной системы отсчета в другую. При этом будем считать, что при рассмотрении небольших скоростей ( «c) справедливы законы классической механики. Когда речь идет о скоростях приближающихся к скорости света, справедливы законы специальной теории относительности (релятивистской механики).

Покажем, что законы механики Ньютона имеют одинаковый вид в двух инерциальных системах К и К’, движущихся относительно друг друга со скоростью U (рис. 2) Положение движущейся точки массой m относительно первой системы зададим радиус-вектором , относительно второй - .

Рис, 2

Из рисунка видно, что связь между и следующая: (1)

(1)

Запишем ее для каждой координаты в отдельности: (2)

Эти формулы позволяют определить координаты материальной точки в системе К, если известны ее координаты в системе . Обратный переход: (3)

Такие уравнения называются преобразованиями координат Галилея. Они дают возможность вычислить координаты движущейся точки по отношению к системе К, если известны координаты ее в системе , и наоборот.

Связь скоростей точки и в разных системах получим, продифференцировав по времени формулу (1),

или (4)

Если в одной из инерциальных систем отсчета тело двигалось с постоянной скоростью , то и в другой оно также будет иметь постоянную скорость . Значит первый закон динамики будет выполняться в обеих системах отсчета.

Поскольку система К движется относительно системы К’ с постоянной скоростью, , то

т.е. ускорения в обеих системах одинаковы, а так как масса движущейся точки m не изменилась при переходе в другую систему, то второй закон динамики будет иметь такой же вид, как и в первой системе: (5)

Таким образом, законы классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

В рассматриваемом случае длина отрезка и интервал времени не зависит от системы отсчета, т.е. если мы измерим в системе К длину какого-то предмета, то она будет точно такой в системе Аналогичное заключение можно сделать и относительно интервала времени между событиями, т.e. длина и время тоже инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

Дата добавления: 2014-11-06