Бесконечно малые функции и их свойства

Основные теоремы о пределах функций.

Пусть а -число или один из символов ∞; -∞;+∞.

Теорема1. Предел от постоянной величины равен этому постоянному:

Теорема2. Если функция f(x) и g(x) имеют конечный предел, то .

Теорема3. Если функция f(x) и g(x) имеют конечный предел, то .

Теорема4. Если функция f(x) и g(x) имеют конечный предел, то .

Теорема5. Если в окрестности точки а выполняется неравенство

.

Теорема 6. Функция не может иметь более одного предела.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х→а (а – число или один из интервалов ∞, +∞, -∞), если .

Пример: Функция y=sin x, при х→0 бесконечно малая, т.к. .

Теорема. Число А является пределом функции y=f(x) при х→а, тогда и только тогда, если в окрестности точки а выполняется условие f(x)=A+λ(x). где λ(x) →0, при x →а.

Теоремы о бесконечно малых

Теорема1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых при x →а функций есть функция бесконечно малая при x →а.

Теорема2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при x →а есть функция бесконечно малая при x →а.

Теорема3. Произведение функции бесконечно малой при x →а, на функцию, ограниченную в окрестности точки а, есть функция бесконечно малая

при x →а.

Теорема4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию предел которой при x →а конечен и отличен от нуля, есть функция бесконечно малая.

Дата добавления: 2014-11-08