Равновесие системы сходящихся сил

Равновесие твёрдого тела

Необходимым и достаточным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил является равенство нулю равнодействующей этой системы сил, т. е.

.

(1.13)

Это векторное равенство называют векторным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил. Геометрически это условие выражается требованием, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, замыкался сам по себе.

Заметим, что в замкнутом силовом многоугольнике конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой силы , а стрелки векторов всех сил указывают одну и ту же сторону обхода периметра силового многоугольника.

Аналитические условия равновесия. Из (1.13) следует, что при равновесии модуль равнодействующей силы также равен нулю.

.

(1.14)

Поскольку стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых чисел (безразлично, положительных или отрицательных) всегда положительны, то может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности. Откуда с учётом формул (1.11) следует, что должны соблюдаться следующие три условия:

, , .

(1.15)

С другой стороны, очевидна и достаточность этих условий для равновесия рассматриваемой системы сил, так как из них следует, что .

Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех выбранных любым образом координатных осей.

Таково условие равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме.

Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плоскость, в которой расположены линии действия всех этих сил, принять за координатную плоскость хОу. Тогда третье условие равновесия будет выполнено тождественно, и условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме сведутся к двум следующим условиям:

, .

(1.16)

Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух, выбранных любым образом координатных осей, лежащих в плоскости, в которой расположены линии действия всех сил.

При решении таких задач, когда линии действия всех сил, приложенных к телу, включая и силы реакций, пересекаются в одной точке, нужно воспользоваться условиями равновесия системы сходящихся сил в геометрической или аналитической форме. В первом случае для системы сходящихся сил мы определяем искомые силы реакций связей или другие неизвестные в данной задаче величины при помощи построения замкнутого силового многоугольника или чисто графически, строя этот силовой многоугольник в строго определенном масштабе, или вычисляя его стороны по правилам геометрии и тригонометрии (геометрический метод). Однако геометрический метод решения задач статики при числе сил больше трех становится неудобным. При большом числе сил почти всегда выгоднее применять аналитический метод. При аналитическом методе мы находим искомые величины из уравнений равновесия (1.15) или (1.16), в левые части которых войдут, кроме проекций известных активных сил, и проекции неизвестных сил реакций связей.

Дата добавления: 2014-11-25