Построение единовременных нетто-ставок по страхованию жизни и на случай смерти

Условия страхования жизни обычно предусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного лица до окончания срока действия договора страхования или в случае его смерти в течение этого срока.

Для начисления страхового фонда необходимо располагать сведениями о том, сколько лиц из числа застрахованных доживет до окончания срока действия их договора страхования и сколько из них каждый год может умереть.

Продолжительность жизни определенных людей является случайной величиной и колеблется в достаточно широких пределах. Демографической статистикой определена зависимость смертности от возраста людей. Эта зависимость представлена в таблицах смертности. Таблицы смертности показывают, как постепенно уменьшается с увеличением возраста поколение одновременно родившихся (условно принятое за 100000). Таблицы смертности рассчитываются на основе данных переписи населения.

Возраст человека обозначен символом x, а число лиц доживающих до каждого возраста l_x. Число умирающих при переходе от возраста x к возрасту x +1 обозначено символом d_x.

Наряду с абсолютным показателем в таблице используется и относительный показатель q_x — показатель возможности умереть в возрасте x лет, не дожив до возраста x +1 лет.

. (8.1)

□ Пример 8.1. Из 100000 родившихся женщин до 50 лет (x= 50) доживают 90792 человек (l_x =90792); до 51 года не доживают 459 человек (d_x =459), вероятность умереть в возрасте 50 лет у женщин

. ■

Используя таблицу смертности, страховщик может определить величину страхового фонда, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм.

□ Пример 8.2. С траховщик заключил договор на страхование жизни с мужчиной 30-летнего возраста на 5 лет. По таблицам смертности находим

l ₃₀=92216, l ₃₅=90275.

Согласно таблице смертности до возраста 35 лет доживет 90275 человек из 92216. Следовательно, и число выплат будет 90275. Предположим, что страховая сумма каждого договора составляла 5 тыс. ден. ед., тогда, чтобы обеспечить все выплаты, необходим страховой фонд в размере 90275·5=451375 тыс. ден. ед. Страховщик предполагает всю сумму страховых взносов инвестировать под 9% годовых. Поэтому в момент заключения договора эта сумма может быть значительно меньше. Использовав метод дисконтирования, определим эту сумму

тыс. ден. ед.

Следовательно, чтобы через 5 лет иметь средства для выплаты страховых сумм по дожитии, страховщик должен располагать в начале страхования фондом в размере 293362,7795 тыс. ден. ед. Эту сумму и нужно собрать со страхователей. То есть каждый страхователь, заключивший в 30-летнем возрасте договор на пять лет, внесет единовременную сумму, равную

тыс. ден. ед.

Рассчитанная сумма 3181,26 ден. ед. является одновременной нетто-ставкой, предполагающей уплату взноса в начале срока страхования. ■

Расчёт единовременной нетто-ставки по дожитию

Расчёт единовременной нетто-ставки по дожитию производится следующим образом:

. (8.2)

Здесь _nE_x — единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте x лет при сроке страхования n лет; l_x+n — число лиц, доживших до окончания срока страхования; l_x — число лиц, заключивших договор в возрасте x лет; V= 1+ i, i — процентная ставка. Если S — страховая сумма, то величина единовременного взноса будет равна _nE_x·S.

Если в выражении (8.2) _nE_x числитель и знаменатель умножить на одно и то же число V^x, то оно примет следующий вид:

, (8.3)

где D_х=l_x·V^x — коммутационное число. Значения D_х приведены в коммутационных таблицах. Тогда единовременную нетто-ставку для предыдущего примера можно найти, пользуясь коммутационными таблицами:

и величина единовременного взноса составит 0,636251365·5000=3181,26 ден. ед. ■

В таблице коммутационных чисел приведены значения коммутационных чисел D_x, N_x, C_x, M_x, R_x. Они находятся по формулам:

D_х=l_x·V^x, N_x=D_x+D_{x +1}+…+ D_w,

С_x=d_x×V^{x+ 1}, M_x=C_x+C_{x +1}+…+ C_w, R_x=M_x+M_{x+ 1}+…+ M_w,

здесь w — заданный предельный возраст в таблице смертности.

Расчёт единовременной нетто-ставки на случай смерти

На случай смерти единовременная нетто-ставка рассчитывается по формуле

(8.4)

и единовременная сумма взноса будет равна _nA_x×S. То же значение мы получим, используя коммутационные числа:

(8.5)

□ Пример 8.3. М ужчина 30-летнего возраста решил оформить страховку на случай своей смерти сроком на 5 лет на сумму 10 тыс. ден. ед. Найдём единовременную нетто-ставку на случай смерти:

,

или, используя коммутационные числа

.

и величина единовременного взноса будет равна 10×0,01624785=0,1624785 тыс. ден. ед. ■

При наступлении страхового случая, т. е. если страхователь умрёт в этот период, недостающие средства поступают из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, кроме того, добавить и доход от процентов.

8.2. Расчёт годичных нетто-ставки и брутто-ставки

При расчёте единовременной нетто-ставки предполагается, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора о страховании. На практике такие случаи встречаются редко. Основная масса страхователей предпочитает платить взносы в течение всего срока страхования. В связи с этим возникает необходимость расчёта годичных нетто-ставок.

Единовременная нетто-ставка отличается по своей величине от годичной ставки по ряду причин. Во-первых, при единовременной уплате страхового взноса он может быть сразу после его поступления каким-либо образом инвестирован, и на эту сумму будут начисляться проценты. При годичных взносах в связи с их постепенным поступлением сумма начисленных процентов будет значительно меньше, чем при единовременном взносе, в результате чего страховщик получит меньший страховой фонд. Во-вторых, при единовременном взносе его уплачивают все лица, заключающие страховой договор, а при годичной уплате ряд страхователей прекратит взносы в результате своей смерти.

Таким образом, при расчёте годичной нетто-ставки необходимо учитывать частичную потерю процентных сумм и снижение числа платежей в результате смерти некоторой части застрахованных лиц.

Для перехода от единовременной нетто-ставки к годичной используются коэффициенты рассрочки. Для каждого страхователя сумма современных стоимостей годичных взносов в 1 ден. ед. будет

. (8.6)

Найденное значение будет близко к n, но несколько меньше его. Можно составить пропорцию

_nP_x:1= _nEg_x: _na_x,

где _nP_x — годичный взнос; _nEg_x — единовременный взнос; _na_x — коэффициент рассрочки. Откуда

. (8.7)

Годичная нетто-ставка постнумерандо на дожитие

(8.8)

и на случай смерти

. (8.9)

Задание. Нетто-ставка по страхованию на дожитие мужчины 30 лет равна 0,1655, на случай смерти — 0,0042. Найдите эти величины самостоятельно, используя таблицу коммутационных чисел.

На основе нетто-ставки происходит аккумуляция средств для выплаты страховых сумм, но страховщик должен иметь средства на оплату дополнительных расходов — оплату труда работников, содержание помещения и т. д., а также получить доход. Покрытие этих расходов происходит за счет страхователей. В связи с этим к нетто-ставке присоединяется нагрузка, в результате чего формируется брутто-ставка.

Формула брутто-ставки

, (8.10)

где _nП_х — брутто-ставка для лица в возрасте х, застрахованного на n лет; _nН_х — нетто-ставка; f — доля нагрузки в составе брутто-ставки.

Дата добавления: 2014-11-25