Граничные условия для и

Рассмотрим границу раздела двух веществ. Будем считать, что по этой границе не проходят провода с током.

Как уже обсуждалось, поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю – это равносильно утверждению, что линии магнитной индукции всегда замкнуты и не имеют начала или конца. Это фундаментальное свойство магнитного поля выражается уравнением . Применим его к бесконечно малой цилиндрической поверхности, окружающей границу раздела. Поток через нее определяется нормальной составляющей , поэтому нормальная составляющая должна быть непрерывна:

. (1)

Рассмотрим теперь циркуляцию напряженности по бесконечно малому контуру, проходящему параллельно границе раздела. Она определяется тангенциальной составляющей . Если на границе раздела нет токов проводимости, то . Поэтому тангенциальная составляющая должна быть непрерывна:

. (2)

Так же, как и в случае с диэлектриками, граничные условия приводят к преломлению силовых линий поля на границе раздела веществ.

Воспользовавшись формулой (4) связи и ,перепишем условие (2):

, или .

Если , то тангенциальная составляющая увеличивается. Нормальная же составляющая не изменяется, что и приводит к преломлению линий . Увеличивается и модуль .

Как видно из рисунка, преломление приводит к сгущению линий напряженности в среде с большим значением .

Вот еще два примера применения граничных условий.

Пример 1. В магнетике прорезаны две узкие длинные щели: щель 1 перпендикулярна линям , щель 2 – параллельна. Каковы значения магнитной индукции В ₁ и В ₂ в каждой из щелей, если в магнетике она равна В?

Из условия непрерывности нормальной составляющей следует, что в первой щели .

Из условия непрерывности тангенциальной составляющей следует, что , или , - магнитная индукция во второй щели меньше, чем в магнетике, в раз.

Итак, если мы хотим измерить В в магнетике, надо прорезать в нём щель 1.

Пример 2. Рассмотрим электромагнит: провода с током намотаны на железный сердечник (у железа значения достигают нескольких тысяч единиц). Число витков N, сила тока в витках I. В сердечнике имеется узкий зазор длины l. Длина сердечника L (имеется в виду длина магнитных силовых линий в нём). Найдем магнитную индукцию в сердечнике и в зазоре.

Из условия непрерывности нормальной составляющей следует, что магнитная индукция в сердечнике и в зазоре одинакова и равна В. Так как мы знаем токи проводимости, найдем сначала напряженность , записав его циркуляцию по контуру, совпадающему с линией магнитной индукции: . Внутри сердечника , в зазоре . Циркуляцию можно расписать как:

, или ,

откуда находим . Из-за очень больших значений может оказаться, что даже относительно малый зазор l сильно влияет на значение магнитной индукции.

Дата добавления: 2014-11-25