Решение. Пример. Даны вершины пирамиды ,

Векторная алгебра.

Пример. Даны вершины пирамиды ,

причём точки A, B, C - вершины её основания.

Средствами векторной алгебры найти:

1) векторы с началом в точке В и концом в остальных вершинах пирамиды;

2) длину и направляющие косинусы вектора ;

3) скалярное произведение векторов и ;

4) угол между рёбрами и ;

5) векторное произведение векторов и ;

6) площадь основания пирамиды;

7) смешанное произведение векторов с началом в точке В

и концом в остальных вершинах пирамиды;

8) объём пирамиды.

Рис. 1.

1) В координатной форме вектор можно задать следующим образом:

, где - орты осей координат.

Чтобы найти координаты вектора нужно от координат конца вычесть координаты

начала: .

.

.

2) Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов всех его координат:

Направляющие косинусы вектора это косинусы углов между вектором и осями координат.

Чтобы их найти нужно соответствующую координату вектора разделить на его длину.

Следовательно, направляющие косинусы вектора :

Чтобы проверить правильность этих вычислений, найдём сумму квадратов направляющих косинусов, она должна быть равна единице:

3) Скалярное произведение двух векторов можно вычислить как сумму произведений одноимённых координат, поэтому

4) Косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение их длин:

5) Если векторы заданы своими координатами: , а ортами координатных осей являются векторы , то их векторное произведение это вектор , который можно найти разложив по первой строке определитель третьего порядка:

Тогда .

6) Площадь найдём используя геометрический смысл векторного произведения векторов: .

7) Смешанное произведение трёх векторов, заданных в координатной форме,

, равно определителю третьего порядка:

Тогда

8) Объём пирамиды найдём, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов:

Дата добавления: 2014-11-25