Цилиндрические поверхности 3 страница

Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния — Аа', Аа и Аа" (что хорошо видно на последнем рисунке), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования — точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле. Отрезки а'а_z, аа_у и Оа_х равны Аа" как противоположные стороны соответствующих прямоугольников. Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а'а_х, а"а_У1 и Оа_г равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа_х, а"а_z и Оа_У1 равны отрезку Аа', определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.

Отрезки Оа_х, Оа_у и Оа_г, расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.

На эпюре отрезки а'а_х и аа_х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох, а отрезки а'а_z и а"а_z — к оси Oz. Эти линии называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а_х и а_z соответственно. Линия проекции) ной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а_у.

Координатами называют числа, которые служат для определения по­ложения точки в пространстве. Ко­ординату х называют абсциссой, у - ординатой и z - аппликатой. Абсцисса определяет расстояние точки от плос­кости W, ордината от плоскости V и аппликата от плоскости H. На­пример, при построении точки по ко­ординатам X = 30, у — 20, z = 18 сле­дует отложить по оси абсцисс 30 мм, по оси ординат 20 мм, а по оси аппликат 18 мм.

Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка 0). Если даны две проекции точки, то по ним можно найти третью проекцию, так как все проекции связаны между собой линиями связи. Для этого проводим прямую под углом 45° к оси У или проводим дугу из точки О, соединяющую линию связи.

Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.

Пример 1. Определение координат точки 1 заданной на эпюре двумя проекциями. Измеряются три отрезка: отрезок Оb_Х (координата X), отрезок b_Хb (координата Y) и отрезок b_Хb' (координата Z). Координаты записывают в следующем порядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В(20; 30; 15).

Пример 2. Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С(ЗО; 10; 40). На оси Ох находят точку с_х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси 0х от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с_х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки с, вниз откладывают координату Y (размер 10), получают точку с — горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с_х по линии проекционной связи откладывают координату Z ( размер 40), получают точку с’ - фронталь ную проекцию точки С.

Способы переноса проекций:

Частные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций

1. Положение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 190 (из учебника Миронова Р.С., Миронов Б.Г. Инженерная графика. М., 2001.) координата Y точки А определяется отрезком аа_х — расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а'а_х — расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рисунке приведены примеры раз­личного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b_х. Координата Y точки С равна нулю, точка располагается на плоско­сти V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с_х.

Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.

На рисунке координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D нахо­дится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.

7. Проекции прямой

При проецировании прямой на какую-либо плоскость проекций проецирующие лучи, проходящие через точки прямой, образуют проецирующую плоскость, которая пересекает плоскость проекции по прямой. Следовательно, проекцией отрезка будет отрезок прямой. Чаще всего проекция отрезка меньше самого отрезка, так как его проекция (ab) является частью катета прямоугольного треугольника (ВbМ), а отрезок (АВ) частью гипотенузы. Так как Mb < MB, то ab<AB. Отношение проекции отрезка к натуральной величине называют коэффициентом искажения. Коэффициент искажения обозначают буквой К.

Положение прямой в пространстве можно определить двумя ее точками, поэтому, чтобы задать прямую на эпюре, достаточно задать проекции двух ее точек, т. е. проекции отрезка этой прямой. Данные проекции отрезка прямой полностью определяют положение прямой в пространстве.

Сравнивая координаты точек А и В, являющихся концами отрезка, можно представить себе, как располагается отрезок в пространстве. Точка В находится выше точки А относительно плоскости Н, так как b'b_х>а'а_х, т. е. Z_B>Z_A, и точка В ближе к плоскости V, чем точка А, так как bb_x<aa_x, т. е. Y_B<Y_A.

Различные случаи расположения прямых относительно плоскостей проекций:

ü Прямая общего положения — прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, т. е. ни одна из проекций этой прямой не параллельна какой-либо оси проекций.

ü Прямые уровня:

a) Горизонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Н. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плос­кости Н, т. е. координаты Z всех точек отрезка ВС равны между собой, Bb = Сс = b'b_y=c'c_x = Z_B = Z_c. Фронтальная проекция горизонтальной прямой параллельна оси Ох. Положение второй проекции относительно оси Ох определяется поло­жением самой прямой. Угол наклона горизонтальной прямой к плоскости V —. На плоскость Н отрезок гори зонтальной прямой проецируется в натуральную величину.

b) Фронтальная прямая — прямая, параллельная плоскости V. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости V, т. е. координаты Y всех точек отрезка CD равны между собой. Горизонтальная проекция фронтальной прямой параллельна оси Ох (рис. 194, б). Положение второй проекции относительно оси Ох опреде­ляется положением самой прямой. Угол наклона фронтальной прямой к плоскости Н — а. На плоскость V отрезок фронтальной прямой проецируется в натуральную величину.

c) Профильная прямая - прямая, па­раллельная плоскости W. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости W, т. е. координаты X всех точек отрезка DE равны между собой. Фронтальная проекция профильной прямой параллельна оси Oz, а горизонтальная — оси Оу. Положение профильной проекции определяется положением самой профильной прямой. Угол наклона - профильной прямой к плоскости Н — α, к плоскости V — β. На плоскость W отрезок профильной прямой проецируется в натуральную величину.

ü Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называют проецирующими прямыми.

a) Горизонтально-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости Н. Проекция такой прямой на плоскости Н является точкой, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Оz. На плоскость V прямая проецируется в натуральную величину.

b) Фронтально-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости V. Проекция этой прямой на плоскость V является точкой, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Оу. На плоскость Н прямая проецируется в нату­ральную величину.

c) Профильно-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости W. Проекция этой прямой на плоскость W является точкой. Ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Оу и параллельна оси Ох, а фронтальная — перпендикулярна оси Oz и параллельна оси Ох (рис. 198). На плоскости Н и V прямая проецируется в натуральную величину.

8. Способы задания плоскости на эпюре

Положение плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому чтобы задать на эпюре плоскость, достаточно задать три ее точки. Плоскость можно задать точкой и прямой, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми, треугольником. Можно задать плоскость сле­дами.

Следом плоскости называют прямую, по которой данная плоскость пересекает плоскость проекций. На рисунке P_v — фронтальный след плоскости Р, Р_н — горизонтальный след плоскости Р, P_w — профильный след плоскости Р.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается метод проецирования?

2. Какова разница между центральным и параллельным проецированием?

3. Какие проекции называются прямоугольными?

4. При каком положении прямой, одна из ее проекций точка?

5. Какое положение занимает точка в пространстве, если ее фронтальная проек­ция лежит на оси проекций?

Тема 2.2. Преобразование чертежа для определения действительной величины.

Преобразование чертежа для определения действительной величины: метод вращения, метод перемены плоскостей проекции, метод совмещения.

При изучении темы следует усвоить следующие вопросы: проецирование на дополнительную плоскость проекций; использование метода проецирования на дополнительные плоскости для определения действительных величин отрезков и плоскости; метол вращения при определении действительных величин отрезков и проецирующих плоскостей. Рекомендуется решение задач на определение действительных величин.

При решении задач инженерной графики в ряде случаев появляется необходимость в определении натуральной величины отрезка прямой линии. На комплексном чертеже геометрические объекты проецируются так, что многие элементы, составляющие их, например отрезки прямых, углы, плоские фигуры, изображаются с искажением. В то же время при решении многих задач часто возникает необходимость преобразовать комплексный чертеж так, чтобы необходимый элемент расположился параллельно или перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Например, необходимо, чтобы отрезок прямой, представляющий собой ребро многогранника, или многоугольник, представляющий собой грань многогранника, расположились параллельно плоскости проекций. В этом случае на эту плоскость они проецируются в натуральную величину.

Решение таких задач в значительной степени упрощается, если интересующие нас элементы пространства занимают частное положение, т.е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций.

Преобразование чертежа отображает изменение положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве. Задача преобразования комплексного чертежа может быть решена перемещением проецирующего тела в пространстве до требуемого положения или изменением в пространстве положения плоскостей проекций относительно геометрического тела.

Существует несколько методов решения этих задач. В основном используются нижеследующие:

ü способ совмещения,

ü способ замены плоскостей проекций и

ü способ вращения.

Так как частных положений у прямых два и у плоскости два, то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа: прямую общего положения сделать прямой уровня; прямую уровня сделать проецирующей; плоскость общего положения сделать проецирующей; проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня.

a) Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение одной из задач способом замены плоскостей проекций: нужно преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня. Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁ _|_П ₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П ₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рисунке построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁ A₄ и В₁ В₄ проведены перпендикулярно новой оси — П₁ /П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁. Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄ отрезка АВ и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁ П ₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П₄_|_П ₂.

Так как при решении одной из задач контрольной работы №1 необходимо будет найти действительную величину сечения, то мы и предлагаем преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение. В системе плоскостей проекций П₁, П₂ даны проекции треугольника ABC общего положения (см. рисунок ниже).

В этом случае для определения формы и размеров треугольника потребуется произвести двойную замену плоскостей проекций.

При первой замене новая плоскость должна быть перпендикулярна заданной фигуре, тогда плоская фигура спроецируется на нее в виде прямой. При второй замене новая плоскость должна быть параллельна заданной фигуре, тогда проекция, полученная на этой плоскости, выявит форму фигуры, размеры ее сторон и углов.

Первая замена. Для того чтобы фигура была перпендикулярна плоскости, достаточно, чтобы одна из прямых фигуры была перпендикулярна плоскости. В данном случае воспользуемся фронталью АК треугольника, проведенной через вершину А и точку К, расположенную на стороне ВС. Заменим систему П₁, П₂ системой П₂, П₄. Для этого на плоскости П₂ проведем новую ось s₂₄ перпендикулярно фронтальной проекции А₂К₂ фронтали (на плоскости П₂ фронталь АК выявлена в натуральную вели­чину). На новой плоскости Я₄ проекция треугольника выявится прямой C₄B₄.

Вторая замена. Систему П₂, П₄ заменяем системой П₄, П₅ так, чтобы новая плоскость П ₅ была параллельна плоскости треугольника. Для этого на плоскости П₄ проводим новую ось ось s₄₅ параллельно проекции C₄B₄ треугольника. Проекция треугольника А₅В₅С₅ на новой плоскости П₅ выявляет форму треугольника длину каждой его стороны и размеры углов.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

b) Способ вращения

Как уже отмечалось, при преобразовании комплексного чертежа возможно изменение положения заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций при неизменном положении основных плоскостей проекций. Это осуществляется путем вращения этих элементов вокруг некоторой оси до тех пор, пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей. Такое преобразование комплексного чертежа носит название способа вращения.

В качестве оси вращения в этом случае удобнее всего выбирать проецирующие прямые или прямые уровни, тогда точка будет вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

При вращении вокруг горизонтально проецирующей прямой горизонтальная проекция А₁ точки А перемещается по окружности, а фронтальная AI — по прямой, перпендикулярной фронтальной проекции оси, являющейся фронтальной проекцией плоскости вращения Г₂. При этом расстояние между горизонтальными проекциями двух точек А и В при их повороте на один и тот же угол со остается неизменным (А₁В₁ = A₁B₁).

Аналогичные выводы можно сделать и для вращения вокруг фронтально проецирующей прямой. При вращении плоской фигуры вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, проекция ее на эту плоскость не изменяется ни по величине, ни по форме, так как не изменяется наклон плоской фигуры к этой плоскости, а меняется лишь положение этой проекции относительно линии связи. Вторая же проекция на плоскости, параллельной оси вращения, изменяется и по форме, и по величине. Проекции точек на этой плоскости проекций находятся на прямых, перпендикулярных исходным линиям связи. Пользуясь этими свойствами, можно применить для преобразования чертежа способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения и не устанавливая величину радиуса вращения. Это — способ плоскопараллельного перемещения, при котором все точки геометрической фигуры перемещаются во взаимно параллельных плоскостях без изменения действительного вида и размеров этой фигуры.

Треугольник ABC занимает общее положение. Первым плоскопараллельным перемещением он поставлен во фронтально проецирующее положение с помощью горизонтали h, которую расположим как фронтально проецирующую прямую в ее плоскости вращения Г || П. При этом А₁В₁С₁ = А₁В₁С₁, а плоскости вращения точек В и С параллельны плоскости Г. Вторым перемещением АВС расположен параллельно плоскости П₁. Без изменения оставлена вырожденная фронтальная проекция треугольника (А₂В₂C₂ = А₂В₂С₂), а новая горизонтальная проекция, дающая истинную величину АВС, получена построением новых горизонтальных проекций точек А₁В₁ и С₁ в результате их вращения в параллельных фронтальный плоскостях уровня (B₂ ~ Ф; B ~ Ф).

Способом вращения могут быть решены и другие задачи, применительно к их условиям.

c) Способ совмещения

Способ совмещения можно рассматривать как частный случай вращения. Он применяется для определения натуральной величины геометрической фигуры, расположенной в плоскости. Эту плоскость, вращая вокруг одного из следов, совмещают с плоскостью проекций, т. е. накладывают на плоскость проекций вместе с геометрической фигурой, лежащей в этой плоскости. В совмещенном положении гео­метрическая фигура изображается в натуральную величину. Если геометрическая фигура задана на эпюре без следов, то следы плоскости нужно построить. Наклонный след плоскости проходит через прямую, в которую проецируется геометрическая фигура, а второй след — перпендикулярно оси проекций (ограничим рассмотрение вопросов совмещения только совмещением проецирующих плоскостей).

На рисунке показано совмещение плос­кости Р с плоскостью V — фронтальной плоскостью проекций — вращением плоскости Р вокруг фронтального следа P_v. Плоскость Р перпендикулярна плоскости V. Через вершины треугольника ABC проведены в плоскости Р горизонтали и фронтали. Вершины треугольника лежат в точках пересечения этих линий. Горизон­тальные проекции горизонталей параллельны горизонтальному следу Р_н1 плоско­сти Р, а горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Ох. На фронтальную плоскость проекций горизонтали, которые перпендикулярны плоскости V, проецируются в точки а', Ь' и с' на след P_v. На этот же след проецируются и фронтали.

Для построения совмещенного положения плоскости Р с плоскостью V прово­дят совмещенный горизонтальный след Р_н плоскости Р перпендикулярно фрон­тальному следу Р_у через точку схода следов Р_х. Следы Р_и и P_v расположены в про­странстве перпендикулярно друг другу, и в совмещенном положении прямой угол между ними сохранится. Затем проводят в совмещенной плоскости Р горизонтали и фронтали через точки их пересечения со следами плоскости. Горизонтали пересекают след P_v в точках, совпадающих с проекциями а', Ь', с', и через эти точки проводят горизонтали параллельно совмещенному следу Р_н1

Фронтали пересекает горизонтальный след Р_н в точках 1,2, 3. Из этих точек проводят дуги с центром в точке Р_х, находят точки 1₁,2₁, 3₁ и через них проводят совмещенные фронтали параллельно следу P_v, так как все фронтали плос­кости параллельны ее фронтальному следу. Каждая из проведенных фронталей, пересекаясь с соответствующей горизонталью, дает одну из совмещенных вершин треугольника. Треугольник ABC в совмещенном положении изображается в натуральную величину.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?

2. С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?

3. В какой плоскости перемещается точка, вращаемая вокруг оси?

4. Чем отличается способ вращения от способа перемены плоскостей проекций?

5. Когда длина проекции отрезка прямой равна длине отрезка?

Т е м а 2.3. Проецирование геометрических тел.

Проецирование геометрических тел (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар) на три плоскости проекций с анализом элементов геометрических тел (вершины, ребер, граней).

При изучении темы необходимо рассмотреть следующие вопросы: гранные тела, тела вращения, принцип образования их поверхностей. Для закрепления теоретических знаний следует выполнить упражнение: построение чертежа, аксонометрии, развертки гранного тела и тела вращения, точки и линии, принадлежащих им поверхностей.

a) Гранные тела

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной.

Их элементами являются грани, ребра и вершины. Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней - вершинами. Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (рисунки б, г), в противном случае - незамкнутой (рисунки а, в). Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке - вершине (рисунок а). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы. Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рисунок г). Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником. Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы.

Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющими общую вершину. Если все боковые грани имеют форму треугольников с одной общей вершиной, то такая пирамида называется полной пирамидой.

Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник и ее высота проходит через центр основания, то такая пирамида называется пра­вильной пирамидой. Во всех остальных случаях пирамида называется неправильной пирамидой.

Ортогональные проекции правильной полной пирамиды.

На рисунке показано проецирование пирамиды.

Сначала проводят оси координат, осевые и центровые линии, а потом на центровых линиях строят горизонтальную проекцию пирамиды, начиная построение с многоугольника, лежащего в основании. Основание пирамиды расположено в плоскости Н. Все боковые грани спроецируются в треугольники. Го­ризонтальная проекция s вершины 5 совпадает с центром основания — точ­кой 01. Таким образом, на горизонтальной проекции пирамиды боковые грани будут видимыми, но спроецируются они с искажением, так как располагаются наклонно относительно плоскости Н. Плос­кость основания будет невидимой, так как закрыта боковыми гранями пирами­ды.

Дата добавления: 2014-11-26