Тема 4. Произведение преобразований

Пусть даны линейные преобразования f и g соответственно с матрицами А и В в некотором базисе. Тогда произведение этих преобразований имеет матрицу ВА в том же базисе. Отметим, что в общем случае АВ ¹ ВА.

Например, преобразование g с матрицей переводит точку М(х, у) в точку М¢(х¢, у¢) по формулам

. (2)

Преобразование А с матрицей переводит точку М¢(х¢, у¢) в точку М²(Х₂², У₂²) по формулам

, . (3)

Чтобы получить формулы результирующего преобразования точки М в точку М², надо подставить в (3) выражения (2). Получим

,

.

Стало быть, матрица произведения преобразований есть

.

ТЕМА 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Пусть j- линейное преобразование, - вектор, отличный от нуля. Определение. Ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству

j = l ,

где l -некоторое действительное число, называется собственным вектором преобразования j, число l - собственным значением этого преобразования.

Если А - матрица линейного преобразования, Х - матрица-столбец из координат вектора , то равенство (1) можно записать в матричном виде

АХ = lХ.

Перенося члены в одну сторону получим

AX- X=0 или (A-

Уравнение для собственных значений называется характеристическим

уравнением.

Дата добавления: 2014-11-09