Асимптоты графика функции и их нахождение

Может оказаться, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой линии. Эта прямая называется асимптотой графика функции. Так две ветви гиперболы графика функции неограниченно приближаются к осям координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Если хотя бы один из односторонних пределов функции при (слева) или при (справа) будет равен бесконечности, т.е. или , то прямая называется вертикальной асимптотой графика функции .

Ясно, что прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке , так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения. Например, для функции точка является точкой разрыва, также имеем . Итак, прямая есть вертикальная асимптота.

Если существует конечный предел функции , тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции . Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю горизонтальную асимптоту.

В случае если , функция может иметь наклонную асимптоту. Если существует конечный предел и , тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции . Наклонная асимптота может быть правосторонней и левосторонней. Например, найдем асимптоты графика функции . Областью определения функции является вся числовая прямая, поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот нет. Предел , т.е. горизонтальных асимптот нет. Найдем предел . Итак, . Находим

.

Таким образом прямая является наклонной асимптотой графика данной функции.

Дата добавления: 2014-11-26