Знакоположительных рядов

Достаточные признаки сходимости

Ряд , в котором все , называется положительным. Для такого ряда последовательность частичных сумм является неубывающей. Для того чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Рассмотрим следующие достаточные признаки сходимости положительных рядов.

1. Признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Например, исследовать сходимость ряда

,

для этого ряда необходимый признак сходимости выполняется. Сравним данный ряд с рядом, полученным из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем :

,

который будет сходиться.

Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов взятого сходящегося ряда

, ,

то на основании признака сравнения ряд сходится.

2. Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел отношения -го члена к n -му члену . Тогда: 1) при k <1 ряд сходится; 2) при k >1 ряд расходится. При k=1 ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других достаточных признаков.

Например, исследовать сходимость ряда , где . Проверим необходимое условие . Найдем

Применяя признак Даламбера, получаем, что:

.

Так как k <1, то ряд сходится.

3. Интегральный признак. Пусть дан ряд

,

члены этого ряда есть значения некоторой функции f (x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд , если же расходится, то ряд расходится.

С помощью этого признака можно показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при значениях и расходится при значениях .

Дата добавления: 2014-11-26