Тема 3. Геометрическое определение вероятности

Еще в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность «классического» определения вероятности, основанного на рассмотрении конечной группы равновозможных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслимо бесконечное множество исходов. При этом по-прежнему основную роль играло понятие «равновозможности» некоторых событий.

Общая задача, которая ставилась и привела к распространению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим способом.

Пусть имеется, например, на плоскости некоторая область G и в ней содержится другая область g с квадрируемой границей. В область G наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область g. При этом выражению «точка бросается наудачу в область G» придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.) и не зависит от её расположения и формы.

Таким образом, по определению, вероятность попадания в область g при бросании наудачу точки в область G равна

.

Рассмотрим пример.

Задача о встрече. Лица А и В условились встретится в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы, то есть момент прихода одного лица не влияет на момент прихода другого.

Решение. D Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы

| х – у | £ 20.

Cтанем изображать х и у как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие встрече – расположатся в заштрихованной области (рис. 2).

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

P=(60²–40²)/60²=5/9.

Основная литература: [1], [2], [3].

Дополнительная литература: [3], [4].

Дата добавления: 2014-11-26