Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Механический смысл производной




пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t). Отметим некоторый момент времени t 0. К этому моменту точка прошла путь s=s(t 0 ). Определим скорость v материальной точки в момент времени t 0.

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t 0 + Δ t. Ему соответствует пройденный путь s =s(t 0 + Δ t). Тогда за промежуток времени Δ t точка прошла путь Δs =s(t 0 + Δ t)s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δ t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t 0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δ t.

Итак, скоростью движения в данный момент времени t 0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t 0 до t 0t, когда Δ t →0:

,

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

Геометрический смысл производной Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с

любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0. Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х 0 функция принимает значение y0=f(x0). Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М0(x0; y0). Дадим аргументу x0 приращение Δ х. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y 0y=f(x 0–Δ x). Получаем точку М(x0x; y0y). Проведем секущую М0М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение и заметим, что .

Если теперь Δ x →0, то в силу непрерывности функции Δ у →0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол φ→α при Δ x →0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f '(x) = tg α.

Т.о., геометрически у '(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференцируемой функции

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x 0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [ а; b ] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [ а; b ] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-09; Просмотров: 498; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.