Теорема Гюйгенса

Момент инерции относительно параллельных осей.

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерций относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями (рис. 6.4):

Рис. 6.4

Задача 6.1

Определить момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси CZ, перпендикулярной оси и проходящей через его центр масс (рис. 6.5).

Решение

Рис. 6.5

Так как ось CZ проходит через центр масс, то:

, откуда

.

В данном случае , где – длина стержня.

,

Тогда .

Ответ: .

Задача 6.2 (34.9)

Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска массой m и радиуса r относительно оси, проходящей вдоль диаметра, ограничивающего полудиск (рис. 6.6)

Решение

Выделим в полудиске элементарный слой толщиной dk и высотой y на расстоянии x от начала координат. Для элементарного слоя элементарный момент инерции будет:

, (1)

Элементарная масса равна:

,

где dS – площадь элементарного слоя dS=2ydx, тогда:

dm=ρ2ydx,

где ρ – поверхностная плотность, равная ;

S – площадь полудиска, равная .

Рис. 6.6

Тогда .

Подставляя это выражение в уравнение (1) получим:

.

Так как уравнение окружности: , то: .

Тогда:

.

Интегрируя это выражение, получим:

Ответ: .

Задача 6.3 (34.10)

Вычислить осевые I_x и I_y моменты инерции изображенной однородной прямоугольной пластины массой m относительно осей x и y (рис.6.7).

Решение

Рис. 6.7

Выделим элементарный участок шириной dx на расстоянии x от начала координат. Тогда момент инерции (dI_y) элементарного участка будет:

где dm – масса элементарного участка.

dm=ρds=ρydx,

Тогда .

Проинтегрируем это выражение:

.

Так как y=2b, то:

Поверхностная плотность , тогда:

.

Ответ: .

Задача 6.4

Вычислить момент инерции тонкой однородной параболической пластины массы m относительно оси y. Основание пластины параллельно оси y и отстоит от него расстоянием а. Уравнение параболы, ограничивающей пластину, имеет вид: (рис 6.8).

Решение

Рис. 6.8

Выберем элементарный участок и рассчитаем его момент инерции относительно оси y.

Момент инерции участка массы dm будет:

где . Тогда . Так как , то:

Проинтегрируем это выражение:

Поверхностная плотность , где S – площадь пластины.

.

Тогда ,

Ответ: .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое механическая система?

2. Что такое момент инерции точки и тела?

3. Теорема Гюйгенса?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 34.7 – 34.34. [3].

Литература: [1] – [5].

Дата добавления: 2014-11-26