Формула Грассмана

Теория множеств используется при решении задач следующего вида:

В группе зверей 15 умных, 13 – красивых, и 8 мартышек. Сколько зверей в группе?

Решение:

Пусть U – множество умных зверей, К – множество красивых. Тогда множество мартышек будет обозначаться как , а множество всех зверей – . Значит, | U| = 15, |K| = 13 и = 8. Требуется найти . Так как мартышки входят как в множество умных, так и в множество красивых, то при простом сложении элементов множеств, мы мартышек посчитаем два раза. Тогда из суммы элементов множеств умных и красивых нужно одну часть мартышек вычесть. Получим формулу: . Эта формула носит название формулы Грассмана для двух множеств. С помощью этой формулы найдем количество зверей: = 15 + 13 – 8 = 20.

Пример 5. В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?

Решение:

Изобразим ситуацию, изложенную в задаче, с помощью кругов Эйлера:

Тогда |E| = 35, |A| = 20, |B| = 11, |E\(A È B)| = 10. Требуется найти, чему равно | A Ç B|. Сначала найдем, чему равно | A È B|. | A È B| = |E| – |E\(A È B)| = 35 – 10 = 25. Теперь подставим известные значения в формулу Грассмана:

25 = 20 + 11 - |A Ç B|. Выразим из этого уравнения | A Ç B| и найдем, чему оно равно: | A Ç B| = 20 + 11 – 25 = 31 – 25 = 6. Таким образом, 6 учеников увлекаются и биологией, и математикой.

Контрольные вопросы

1 Назовите основателя теории множеств.

2 Дайте определение множества, элемента множества.

3 Какие способы задания множеств вы знаете?

4 Какие множества называют равными?

5 Дайте определение подмножества. Чем отличаются собственные подмножества от несобственных?

6 Какие множества называются числовыми? Приведите примеры числовых множеств.

7 Пересечение, и объединение множеств. Примеры.

8 Вычитание и дополнение множеств. Примеры.

9 Какая из операций сильнее (выполняется раньше)?

10 Как изображаются операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна?

11 Перечислите свойства операций над множествами.

12 Для решения каких задач используют формулу Грассмана?

Тема3: Элементы математической логики

…Встреча математики с логикой в прошлом столетии привела к таким же последствиям, что и приход принца в зачарованный замок спящей красавицы: после столетий глубокого сна логика вновь расцвела плодотворной жизнью.

Дата добавления: 2014-11-16