Лекция № 56

4.3. Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом второго рода по границе L области D и двойным интегралом по этой области.

Теорема.

Построим область D и её границу L:

y М

А В

N

O а b х

Докажем для второго члена правой части формулы Грина

Аналогично доказывается и другая часть формулы Грина

Пример 1. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл , где L - полуокружность и отрезок .

.

4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Соединим две точки А и В двумя кривыми

М

В

А

N

Потребуем, чтобы или

(2)

Используя формулу Грина, с учетом условия (2), получаем

. (3)

Соотношение (3) означает, что выражение есть полный дифференциал некоторой функции , т.е. и тогда

Таким образом, значение интеграла не зависит от формы кривой, а зависит только от начальной и конечной точек линии интегрирования.

Как найти функцию ? у

Зафиксируем точку ,

а точка - текущая. Линию

интегрирования L выберем так,

как показано на рисунке:

х

Тогда

.

Пример 2. Найти функцию для выражения

.

Проверим является ли это выражение полным дифференциалом:

.

Тогда

Замечание 1. В рассмотренном примере в качестве точки М ₀ можно взять точку (1, 1). Почему нельзя взять точку (0, 0)?

Дата добавления: 2014-11-16