Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Предмет теории вероятностей

До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления и опыты, в которых условия практически однозначно определяли исход. Однако для многих задач практики это обстоит несколько иначе.

Рассмотрим пример из механики. Полёт снаряда – это движение материальной точки под действием двух сил: силы тяжести снаряда и сопротивления воздуха. В действительности же на полёт снаряда влияют: его размеры, метеорологические условия, ошибка в наведении, разный вес и т.д. Этих факторов много и учесть их полное влияние невозможно. За счет чего получается пучок траекторий, называемый “рассеивание снарядов”.

Данное случайное событие (траектория полёта снаряда), рассмотрен-ное в этом примере, есть следствие действия многих случайных причин. Практически невозможно учесть их влияние на результат события, так как их число велико и законы действия не всегда известны.

Однако, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий, то практика показывает, что в массе таких случайных событий обнаруживаются вполне определённые закономерности. Например, если много раз бросать монету, то частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) приближается к числу 0,5.

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей случайных событий.

1.2. Пространство элементарных событий

Теория вероятностей, также как и другие разделы математики, изучает не явления окружающего мира, а их математические модели. В математических моделях случайных событий вероятность рассматривается как функция случайного события. Поэтому в начале определим понятие случайного события.

Определение 1. Множество Е назовём пространством элементарных событий, определяемых результатами данного опыта. Элементы этого множества назовём элементарными событиями.

Эти понятия являются первоначальными. Ввиду большого разнообразия случайных событий нельзя дать более конкретного определения. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества Е.

Пример 1. Опыт состоит в бросании монеты один раз. Возможными исходами при этом будут – выпадение герба или цифры. Тогда , где - выпал герб, - выпала цифра.

Пример 2. Брошена игральная кость. Здесь - выпало “ i ” очков.

Пример 3. Работа телефонной станции. Нас интересует число поступивших вызовов в течение суток. Тогда - событие, состоящее в “ i - 1” вызовах в течение суток.

Пример 4. Нас интересуют траектории частиц при броуновском движении. Здесь , где - непрерывные функции времени t.

Определение 2. Случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Е.

Введём операции над событиями, совпадающие с операциями над множествами.

1.3. Операции над событиями

Определение 3. Если всякий раз, когда происходит событие А в данном опыте происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В и пишут .

Проиллюстрируем это понятие на схематичном рисунке.

Пример 5. При бросании игральной

кости рассмотрим два события:

1. А - выпадение четырёх очков; А В

2. В - выпадение четного числа очков.

Тогда , т.е. событие А влечет E

за собой событие В.

Если же и , то .

Определение 4. Суммой двух событий

А и В называется событие А B

или , состоящее

в появлении по крайней мере A + B

одного из событий А или В. E

Определение 5. Произведением двух событий А и В называется со-бытие или , состоящее в одновременном появлении событий А и В.

Пример 6. Опыт состоит в подбрасы-

вании двух монет:

А - выпадение герба на первой монете; А В

В - выпадение герба на второй монете.

Тогда - выпадение хотя бы E

одного герба, - выпадение двух гербов одновременно.

Определение 6. Разностью двух событий А и В называется событие или , состоящее в появлении события А без события В.

Пример 7. Брошена игральная кость.

Рассмотрим два события: А В

А - выпадение четного числа очков;

В - выпадение двух очков.

Тогда событие - выпадение E

четырёх или шести очков.

Определение 7. Событие Е называется достоверным событием, т.е. это такое событие, которое в результате опыта непременно произойдёт.

Определение 8. Пустое множество называется невозможным собы-тием, т.е. это событие, которое в данном опыте не может произойти.

Определение 9. Событие

называется событием, противоположным

событию А. Событие означает, А

что событие А не произошло.

E

Определение 10. События А и В называются несовместными событиями, если . Это означает, что наступление А исключает появление В.

При этом .

Пример 8. Брошена монета.

Рассмотрим два события: А В

А - появление герба;

В - появление цифры. E

Очевидно, что А и В - несовместные события.

Определение 11. События образуют полную группу событий, если:

1. Они попарно несовместны, т.е. ;

2. .

Пример 9. Брошена игральная кость. Тогда события - появление “ i ” очков образуют полную группу событий.

Пример 10. .

1.4. Статистический подход к понятию вероятности

Пусть осуществляется п опытов, в результате которых может либо произойти, либо не произойти событие А. Тогда частотой события А называют число

,

где - число появлений события А в п опытах.

Из определения частоты следуют её основные свойства:

1. , так как ;

2.

3.

Итак, каждому событию А мы поставили в соответствие его числовую характеристику – его частоту. Но понятие частоты не удобно по двум причинам:

1. Частота изменяется при изменении числа опытов.

2. Частота зависит от самой серии опытов, т.е. если серию опытов повторить, то частота может быть другой.

В тоже время длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты и число их велико, то частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что в опытах частота изменяется тем меньше, чем больше произведено испытаний. Подтверждением этого являются исторические примеры:

Число испытаний Число появлений герба Частота

Бюффон 4040 2048 0,5080

Пирсон 24000 12012 0,5005

Вывод. Статистический подход к понятию вероятности состоит в том, что рассматриваемому случайному событию, обладающему свойством статистической устойчивости при большом числе испытаний, можно придать числовую характеристику, которая незначительно отличается от частоты. Это число называется статистической вероятностью.

В рассмотренном примере очевидно в качестве статистической вероятности можно взять число 0,5.

Еще один пример, - как известно, статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки – 0,49.

Дата добавления: 2014-11-16