Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция № 65




 

6.2.3. Нормальное распределение

 

Определение 3. СВ X называется распределённой по нормальному закону, если функция плотности распределения .

Определим смысл параметров a и . Для этого вычислим:

,

так как первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй является интегралом Пуассона.

Таким образом, . Аналогично можно показать, что , т.е. .

График функции нормального распределения имеет вид (Лекция 22)

f (х)

 

О а х

Здесь точки перегиба, .

Если вычислить значения центральных моментов

,

то получим

Часто на практике в качестве числовых характеристик используются так называемые эксцесс - Ex и коэффициент асимметрии - As. В частности, для нормального распределения они равны:

Таким образом, эти коэффициенты определяют степень отклонения распределений от нормального.

Вероятность попадания в заданный интервал случайной величины, имеющей нормальное распределение, определяется по формуле

(1)

Следствие 1. При и из формулы (1) получаем

. (2)

Следствие 2. Если положить в формуле (2) и учесть, что при , то получим

. (3)

Выражение (3) представляет собой так называемое правило трёх сигм. Оно означает, что практически в интервале находятся все возможные значения нормально распределённой СВ.

Нормальный закон распределения играет в теории вероятностей важную роль, так как является предельным законом, к которому приближаются многие другие законы. Это отражено в центральной предельной теореме Ляпунова.

Теорема. Если Х - сумма большого числа независимых случайных величин , которые имеют различные распределения и их влияние на СВ Х незначительно, то Х имеет распределение близкое к нормальному. А в пределе СВ Х стремится к нормальному закону.

Нормальный закон широко используется в теории ошибок, в теории стрельбы, теории надёжности и т.д.

Пример 3. По цели, имеющей вид полосы, ширина которой 20 м, ведётся стрельба в направлении перпендикулярном полосе. Прицеливание ведётся по средней линии. Среднее квадратическое отклонение (точность прицела) в направлении стрельбы равна . Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

 

у

 

 

-10 а = 0 10 х

 

Здесь

Подставляя в формулу (2) эти значения, получим




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 381; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.