Тема 2 : Ряды с комплексными членами

2.1. Числовые ряды

Рассмотрим ряд, члены которого являются комплексными числами

, (1)

где .

Аналогично, как и для числовых рядов с действительными членами, определяются:

Сумма ряда , где - частичная сумма.

Остаток ряда . Если ряд сходится, то .

Абсолютная сходимость ряда, т.е. .

Очевидно, если ряд сходится, тогда сходятся и ряды , . Верно и обратное.

Это позволяет исследовать сходимость рядов (1), основываясь на сходимости числовых рядов с действительными членами. Поэтому не-обходимый и достаточные признаки для рядов (1) остаются такими же, как и для рядов с действительными членами.

2.2. Степенные ряды

Определение 6. Степенным рядом называется ряд вида

, (2)

где - комплексные числа, а z - комплексная переменная.

Определение 7. Суммой ряда (2) называется

В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды вида , что достигается с помощью замены . Для степенных рядов также справедлива теорема Абеля, которая доказывается аналогично.

Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно во всех точках z, удовлетворяющих условию .

Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во всех точках z, удовлетворяющих условию .

Из теоремы Абеля следует, что существует , для какого внутри круга ряд сходится, а вне – расходится. Область называется кругом сходимости степенного ряда.

Пример 2. Найти круг сходимости ряда .

2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной

Элементарные функции комплексной переменной определяются как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменная z была бы действительной переменной x. Полученные таким образом функции называются аналитическим продолжением.

1. Экспонента .

.

Её свойства аналогичны свойствам функции действительного аргу-мента. Кроме того, она является периодической с периодом , так как

.

2. Тригонометрические функции

Для этих функций остаются те же свойства и формулы, что и для функций действительного аргумента.

Аналогично можно доказать и формулу Эйлера для комплексного аргумента . В частности, как уже было доказано ранее, , где x - действительное. Тогда , из чего следует

Например, докажем известную формулу из тригонометрии

3. Гиперболические функции.

Аналогично, как и для формулы Эйлера можно доказать формулы

из которых следуют свойства гиперболических функций и их связь с три-гонометрическими функциями:

Замечание 2. Аналогично определяются тригонометрические и гипер-болические тангенсы и котангенсы:

4. Логарифмическая функция.

Рассмотрим уравнение . Всякое значение корня этого уравнения (логарифм z) обозначается .

При этом, в силу периодичности эта функция многозначная. Пусть , а , тогда

или

и окончательно получаем

В области справедливо соотношение - главное значение логарифма. Тогда

.

Пример 3.

5. Степенная функция . Если a - действительное иррациональ-ное или комплексное число, то функция имеет бесконечное число значений, а для рациональных показателей степени a - конечное число значений.

По определению .

Главное значение .

Пример 4.

6. Показательная функция .

Аналогично , а - главное значение.

Пример 5. Найти главное значение выражения

Дата добавления: 2014-11-16