Механічна робота та енергія

Механічна роботаА – це фізична величина, яка чисельно дорівнює скалярному добутку сили , під дією якої відбувається переміщення , на це переміщення:

. (5.1)

Одиниця вимірювання роботи – джоуль [Дж]; 1 Дж – це робота, яку виконує сила в 1 Н під час переміщення тіла в напрямі дії сили на 1 м.

Із рис. 5.1 бачимо: якщо силу розкласти на дві складові: у напрямі руху та перпендикулярно до нього , то роботу виконує складова сили, паралельна до напряму руху: . Отже, вираз для роботи (5.1) можна переписати так:

. (5.2)

Якщо сила, яка діє на тіло, змінюється в процесі переміщення (рис.5.2), то елементарна робота

,

і роботу обчислюють за допомогою криволінійного інтеграла:

. (5.3)

Швидкість виконання роботи визначають за допомогою потужності. Миттєва (дійсна) потужністьN – фізична величина, яка чисельно дорівнює роботі, що її вико­нує тіло за одиницю часу:

. (5.4)

Одиниця вимірювання – ват [Вт]; 1 Вт – це потужність, за якої роботу в 1 Дж виконують за 1 с. Якщо потужність не змінюється з часом, то формулу (5.4) можна спростити:

, (5.5)

де t – час, за який виконують роботу А.

Якщо тіло рухається зі сталою швидкістю під дією сили , то потужність

. (5.6)

Енергія (повна енергія) – фізична величина, що характеризує здатність тіла або системи тіл виконувати роботу. Це кількісна міра руху та взаємодії всіх видів матерії. Вона відображає незнищенність руху матерії і пов’язує в одне ціле всі явища природи. У класичній механіці прийнято вважати, що енергія системи змінюється неперервно і може набувати довільних значень. Вимірюють енергію максимальною роботою, яку за певних умов може виконати тіло або система тіл. Отже, тіло виконує роботу завдяки енергії, яку воно має або якої йому надають.

Наприклад, нехай кулька, що котиться по столі, вдаряється об іншу нерухому кульку. Під час удару рухома кулька передає частину своєї енергії нерухомій, завдяки якій та виконає роботу – переміститься.

Енергію, як і роботу, вимірюють у джоулях. Повна енергія тіла складається з двох частин: кінетичної та потенціальної енергій.

Кінетична енергіямеханічної системи Е _к – це енергія механічного руху системи. Вона дорівнює роботі, яку може виконати ця система під час гальмування до повної зупинки. Тому її треба визначати за універсальною формулою. Виведемо її.

Нехай точкове тіло масою m під дією сили за час dt змінило швидкість з v до 0 і виконало переміщення . Для спрощення приймемо, що . Тоді елементарна робота

. (5.7)

Врахуємо (4.1):

. (5.8)

Щоб знайти повну роботу, проінтегруємо вираз (2.5.8) з урахуванням того, що за час виконання тілом роботи його швидкість змінилась від 0 до v:

. (5.9)

Отже, кінетична енергія тіла дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його швидкості.

Потенціальна енергіямеханічної системи Е _п – це енергія, пов’язана із взаємодією та взаємним розташуванням (конфігурацією) тіл.

Тому довільному станові системи можна приписати значення потенціальної енергії, яка дорівнює нулю. Стан системи, у якому приймають, що Е _п = 0, називають нульовою конфігурацією.

Зміна потенціальної енергії дорівнює зміні роботи з протилежним знаком, оскільки коли відбувається виконання роботи (вона зростає), то енергія, відповідно, зменшується (спадає). Для елементарної роботи dA і відповідної зміни енергії dE можна записати:

dA = – dE _п. (5.10)

Конкретний вигляд формули для обчислення потенціальної енергії залежить від типу взаємодії між тілами:

а) гравітаційна взаємодія: знайдемо потенціальну енергію точкового тіла масою m, піднятого на висоту h над поверхнею Землі маси М (рис. 5.3).

Зазначимо, що сила , яка діє на тіло, і переміщення напрямлені по одній прямій. Тоді елементарна робота з урахуванням закону всесвітнього тяжіння (3.8) набуде такого вигляду:

, (5.11)

де R – радіус Землі; х – відстань від поверхні Землі до тіла.

Проінтегруємо (5.11):

. (5.12)

Отже, потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох тіл:

. (5.13)

Якщо тіло перебуває близько до поверхні Землі, то h << R і вираз (5.13) спроститься:

, (5.14)

де g – прискорення вільного падіння тіла;

б) пружна взаємодія: знайдемо потенціальну енергію розтягнутої на довжину x пружини з коефіцієнтом пружності k (див. рис. 3.2):

. (5.15)

Можна довести, що в потенціальному полі робота, яку виконують сили, що діють, під час переміщення тіла з одного положення в інше, не залежить від форми траєкторії, уздовж якої відбулось переміщення, а залежить лише від початкового та кінцевого положень тіла. Сили, що діють у потенціальних полях, називають консерва­тивними (наприклад, сили пружності, гравітаційні си­ли). Якщо контур L, уздовж якого рухається тіло, зам­кнутий, то початкове і кінцеве положення тіла збіга­ються і робота дорівнює нулю:

. (5.16)

Якщо робота залежить від форми траєкторії, по якій переміщується тіло з однієї точки в іншу, то сили, що діють,називають дисипативними (неконсервативними). Прикладом таких сил можуть бути сили тертя.

Отже, повна механічна енергія системи – це енергія механічного руху (кінетична енергія) та енергія взаємодії (потенціальна енергія):

. (5.17)

Дата добавления: 2014-11-16