Продифференцировав выражение (1.5) и сократив на w, получим

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е.

Учитывая (1.3), уравнению (1.2) можно придать вид

x(х,t)=Аcos(wt-kх+ j₀) (1.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (1.4) только знаком kx.

w(t-x/V)+j₀=const. (1.5)

,

откуда dx/dt=V. (1.6)

Следовательно, скорость V распространения волны в уравнении (1.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны фазовая скорость.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается так

x(х,t)= A₀ cos (wt-kr + j₀)/r, (1.7)

где r - расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (1.7) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (1.3) вытекает, что фазовая скорость

. (1.8)

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называется дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распределение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных

или , (1.9)

где V - фазовая скорость, D = d²/dx²+d²/dy²+d²/dz² - оператор

Лапласа. Решением уравнения (1.9) является уравнение любой волны.

1.3. Интерференция волн.

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности.

Рис. 2

Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных

его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между их фазами. Это явление называется интерференцией волн. Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S₁ и S₂. Геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (рис. 2), отвечающих условию j₁-j₂=0. Между двумя интерференционными максимумами (на рис. 2 – сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (на рис. 2 – штриховые линии).

Дата добавления: 2014-11-16