КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интегрирование рациональных функцийРассмотрим правильную рациональную дробь (, – многочлены, степень меньше степени ). Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей. Рассмотрим несколько случаев: а) , тогда дробь представляют в виде: , где – коэффициенты, которые следует определить. б) , тогда , где – коэффициенты, которые необходимо определить. в) . . Последовательность разложения правильной рациональной дроби будет такой:
Пример 1.8.1. Вычислить интеграл . Решение. Разложим знаменатель подынтегральной дроби на множители . Следовательно,
. Приравнивая числители , определим коэффициенты и . Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества и решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными откуда , . Следовательно, . Пример 1.8.2. Вычислить интеграл . Решение. Разложим знаменатель дроби на множители: . Корни трехчлена есть и 2, поэтому окончательно имеем . Напишем разложение , Теперь приведем это разложение к общему знаменателю , а затем, приравняв числители, получим . Из этого тождества определим коэффициенты , , , приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, и решив систему откуда , , . Окончательно имеем . Следовательно, . Пример 1.8.3. Вычислить интеграл . Решение. Подынтегральная дробь неправильная. Надо сначала выделить целую часть; для этого путем деления многочлена на многочлен данную дробь представим в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби: , , Дроби приводим к общему знаменателю , а затем, приравняв числители, получим . Теперь запишем и решим систему из трех уравнений с тремя неизвестными откуда , , . Окончательно имеем . Следовательно, . Пример 1.8.4. Вычислить интеграл . Решение. Подынтегральная дробь неправильная. Выделим целую часть . Разложим знаменатель дроби на множители: и напишем разложение , откуда . Приравняем числители . Решим систему уравнений откуда, , , . Окончательно имеем . Следовательно, Найдем . Окончательно имеем .
1.9. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы вида
где – рациональная функция; – целые числа, находятся с помощью подстановки
где – наименьшее общее кратное чисел . Рассмотрим два частных случая: а) если в интеграле (1) , то он будет иметь вид
где , . б) если , , то интеграл (1) примет вид
Интегралы вида (3) находятся с помощью подстановки
Интегралы вида (4) упрощаются подстановкой
Пример 1.9.1. Вычислить интеграл . Решение. Применим подстановку (6): , откуда , . . Пример 1.9.2. Вычислить интеграл . Решение. Применим подстановку (5). Наименьшее кратное показателей корней подынтегрального выражения , следовательно, , откуда , , и Пример 1.9.3. Вычислить интеграл . Решение. Применим подстановку (2): , откуда , ; .
1.10. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида ; ; , где , находятся с помощью формул:
2. Некоторые интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью преобразований приводятся к интегралам вида ; ; или ; или , которые находятся соответственно с помощью подстановок:
3. Интегралы вида , где и – положительные четные числа, вычисляются с помощью формул:
4. Случай нечетной степениоднойфункции а) - выделяют один , остальную часть выражают через и проводят замену . б) - выделяют один , остальную часть выражают через и проводят замену . 5. Интегралы вида , где – рациональная функция, можно найти с помощью универсальной подстановки
откуда , , , . Следовательно, интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной . Пример 1.10.1. Вычислить интеграл . Решение. Воспользуемся формулой (7). . Пример 1.10.2. Вычислить интеграл . Решение. Воспользуемся формулой (8). . Пример 1.10.3. Вычислить интеграл . Решение. Воспользуемся формулой (9). . Пример 1.10.4. Вычислить интеграл . Решение. Воспользуемся подстановкой (10): . Пример 1.10.5. Вычислить интеграл . Решение. Применим подстановку (11): . Пример 1.10.6. Вычислить интеграл . Решение. Применим подстановку (12): . Пример 1.10.7. Вычислить интеграл . Решение. Воспользуемся подстановкой (13): . Пример 1.10.8. Вычислить интеграл . Решение. Применим формулы (14): . Пример 1.10.9. Вычислить интеграл . Решение. . Пример 1.10.10. Вычислить интеграл . Решение. Для вычисления данного интеграла воспользуемся универсальной подстановкой , , откуда ; .
Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 982; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |