Материалы к лабораторной работе. Тема: нахождение корней нелинейного уравнения

Тема: нахождение корней нелинейного уравнения.

Цель: уметь отделить корни нелинейного уравнения на определенных отрезках и уточнить их с заданной точностью одним из численных методов.

Уточнение корня, найденного на отрезке [ а, b ], осуществляется одним из следующих методов: деления отрезка пополам, хорд (секущих), касательных (Ньютона), итераций. Рассмотрим некоторые из них, например метод деления отрезка пополам (рисунок 7). Интервал [ а, b ] делится пополам и в найденной точке (с = (a + b) / 2) вычисляется значение функции y = f (с). Если ê y ê£ е, где е – заданная точность, то c является корнем уравнения, т. к. при полученном c функция y = f (c) пересекает ось ОХ. В противном случае выбираем один из отрезков или [ а, (а + b) / 2] (рисунок 7а) или [(а + b) / 2, b ] (рисунок 7б), на концах которого f (x) имеет противоположные знаки. Выбранный интервал снова делим пополам (с = (a + b) / 2) и вычисляем значение функции y = f (с). Процесс повторяется до тех пор, пока не будет получено значение ç y ê£ е.

Рисунок 7 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам

Сказанное выше реализуется следующим алгоритмом (рисунок 8), где в блоке 2 вводятся полученные при отделении корней границы интервала [ а, b ] и точность вычисления корня е, а в блоке 3 вычисляется значения функции у ₁ при х = а. Затем в блоке 4 вычисляется середина интервала [ а, b ], а в блоке 5 – значение функции в середине данного интервала при с = (a + b) /2. Если при проверке в блоке 6 оказывается ç y ê£ е, то с – корень уравнения, который выводится в блоке 10. Если же условие ç y ê£ е не выполняется, то в блоке 7 определяется: какую половину отрезка [ а, b ] оставить для дальнейшего нахождения корня. Если , то левую половину присвоением b = с (блок 9), а если же нет, то правую присвоением a = с (блок 8) и затем в блоке 4 опять определяется середина нового суженного интервала и процесс повторяется до тех пор, пока значение у станет меньше заданной точности е.

Рисунок 8 – Схема алгоритма уточнения корня методом деления отрезка пополам

При уточнении корня методом итераций в уравнении неизвестное выражают через самого себя, т. е. уравнение приводится к виду .

Тогда рассмотренное выше уравнение преобразуем к виду .

Выберем произвольную точку х внутри отрезка [ а, b ], на котором находится корень уравнения, и подставим это значение в правую часть преобразованного уравнения, получив соответственно . Затем, приняв х равным полученному (), опять проведем вычисления нового x_n.

Этот процесс последовательного вычисления значений по формуле будет продолжаться до тех пор, пока разность между вычисленным и предыдущим х по модулю не станет меньше заданной точности е (). Рассмотренное выше нахождение корня реализуется следующим алгоритмом (рисунок 9).

Рисунок 9 – Схема алгоритма уточнения корня методом итераций

Метод итераций применим только в том случае, если вычислительный процесс сходится, т. е. от итерации к итерации абсолютная разность будет уменьшаться. Для этого необходимо провести преобразования исходного уравнения к виду так, чтобы выполнялось условие для любого значения х, принадлежащего отрезку [ a, b ].

Для предотвращения зацикливания в случае расходящегося процесса в схему алгоритма блоком 2 вводится параметр m, обеспечивающий ограничение на максимальное число итераций. Количество итераций подсчитывается в блоке 5 и при превышении заданного числа m блок 7 прерывает процесс поиска корня.

ПРИМЕРЫ РАЗНОУРОВНЕВЫХ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ КОНТРОЛЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ
ПО МОДУЛЮ

Для нелинейного (алгебраического или трансцендентного) уравнения, приведенного в таблице 4, произвести отделение его корней и уточнить их с помощью разработанных алгоритмов и программ.

Аргументы тригонометрических функций принять в радианах, а уравнение выбрать в соответствии с таблицей 4.

Таблица 4 – Варианты нелинейных уравнений

№ п/п	Нелинейное уравнение

Окончание таблицы 4

№ п/п	Нелинейное уравнение

ЗАДАНИЯ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Тема: вычисление определенного интеграла.

Цель работы: уяснить сущность метода численного решения задачи и овладеть первичными навыками составления, ввода, трансляции, отладки, исполнения и оформления программного модуля.

Для заданного варианта интегрируемой функции (номер варианта соответствует порядковому номеру в списке группы) составить схемы алгоритмов и программы на алгоритмическом языке Turbo-Pascal.

Дата добавления: 2014-11-08