Вероятность[Е6] попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Функция распределения [Е7] для нормально распределенной случайной величины имеет вид

Непосредственное нахождение функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, по данной формуле и вероятности ее попадания на некоторый интервал по формуле достаточно сложно, т.к. интеграл от функции является «неберущимся» в элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию Лапласа:

,

где . Для функции Лапласа составлена таблица ее значений.

Функция обладает следующим свойством:

.

Поэтому значения функции приведены только для положительных значений аргумента.

Применяя функцию Лапласа можно определить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

Вероятность[Е8] попадания нормально распределенной случайной величины , распределенной по нормальному закону, в интервал , равна

.

Формула позволяет вычислить вероятность попадания любой нормально распределенной случайной величины в интересующий интервал.

Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы: 1) ; 2) , 3) .

1. Интервал[Е9]

,

2. Интервал[Е10]

3. Интервал[Е11]

Выполненные[Е12] вычисления покажем на рисунке.

Как видно из вычислений, вероятность нахождения случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервале равна 0,9974 и весьма близка к единице. Поэтому «трехсигмовые» границы принимаются за границы практически возможных значений нормально распределенной случайной величины.

Отсюда вытекает [Е13] «правило трех сигм»: если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале , т.к. вероятность нахождения ее значений в данном интервале или 1.

Нарушение «правила трех сигм», т.е. отклонение нормально распределенной случайной величины больше, чем на (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, т.к. его вероятность очень мала:

.

Заключение

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике и является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Случайная величина распределена по нормальному закону, если плотность вероятности ее имеет вид

Функция плотности вероятности определена, непрерывна и положительна на всей числовой оси. График нормального распределения симметричен относительно прямой , имеет максимум в точке и две точки перегиба .

Зная функцию распределения , получаем формулу для вероятности попадания случайной величины X в заданный интервал

,

- функция Лапласа от аргумента.

Из вычислений вероятности попадания случайной величины в интервалы: ; ; вытекает «правило трех сигм»: если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале , т.к. вероятность нахождения ее значений в данном интервале [Е14]

[Е1]Слайд 1

[Е2]Слайд 2

[Е3]Слайд 3

[Е4]Слайд 4

[Е5]Слайд 5

[Е6]Слайд 6

[Е7]Слайд 7

[Е8]Слайд 8

[Е9]Слайд 9

[Е10]Слайд 10

[Е11]Слайд 11

[Е12]Слайд 12

[Е13]Слайд 13

[Е14]Слайд 14

Дата добавления: 2014-11-16