Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид ,где A=2м, B=1 м / с, С = -0,5 м / с

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид ,где A = 2м, B=1 м / с, С = -0,5 м / с . Найти координату , скорость v_xи ускорение точки в момент времени t = 2с.

Решение. Координату найдем, подставив в урав­нение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t.

Мгновенная скорость относительно оси есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.

В момент времени t=2с

м/с; м/с .

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где рад, рад/с, рад/с . Найти полное ускорение точки, находя­щейся на расстоянии м от оси вращения, для момента времени с.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометричес­кая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускоре­ния , направленного к центру кривизны траектории:

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль

ускорения . (1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами , , где - модуль угловой скорости тела, - модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим

(2)

Угловую скорость найдем, взяв первую производ­ную угла поворота по времени:

В момент времени с модуль угловой скорости

рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени: рад/с .

Подставляя значения , и в формулу (2), получаем

м ¤ с м/с².

Пример 3. Ящик массой кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость uтележки с ящиком, если лоток наклонен под углом к рельсам.

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух не упруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внеш­ние силы: силы тяжести m₁ g и m₂ g и сила реакции N ₂. Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик - тележка нельзя. Но так как проекции указанных сил на направление оси x, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импуль­са системы на это направление можно считать постоянной,

т.е. , (1)

где и - проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку, и - те же величины после падения ящика.

Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что (тележка до взаимодей­ствия с ящиком покоилась), а также что после взаимо­действия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью : ,

или ,

где v₁ - модуль скорости ящика перед падением на те­лежку; v_1x = v₁cosα - проекция этой скорости на ось x. Отсюда

Модуль скорости v₁ определим из закона сохранения энергии:

,

где , откуда

Подставив выражение v₁ в формулу (2), получим

.

После вычислений найдем

= м / с = м / с.

Пример 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой и длиной ,. На корме стоит человек массой . На какое расстояние удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пре­небречь.

Решение. Систему человек - лодка относительно горизонтального направления можно рассматривать как замкнутую. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Приме­няя это следствие к системе человек - лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. оста­нется на прежнем расстоянии от берега. Пусть центр масс системы человек - лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку лодки, а после перемещения лодки - через другую ее точку .

Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки. Как видно из рисунка, в начальный момент точка О находится на расстоянии слева от вертикали, а после перехода человека - на расстояние справа от вертикали.

Следовательно, искомое перемещение лодки

(1)

Для определения и воспользуемся тем, что результирующий момент сил, действующих на систему от­носительно горизонтальной оси, перпендикулярной продольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы , откуда

/ .

После перемещения лодки , откуда

/ .

Подставив полученные выражения и (1), найдем

или

Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой г поднялась на высоту м. Определить жесткость пружины писто­лета, если она была сжата на см. Массой пру­жины и силами трения пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему пружина - пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить за­кон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энер­гии в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

, или Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂ (1)

где Т₁, Т₂, П₁ и П₂ - кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и ко­нечном состояниях равны нулю, то равенство (1) при­мет вид

. (2)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяго­тения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в на­чальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. , а в конечном состоя­нии - потенциальной энергии пули на высоте , т. е. .

Подставив выражения и в формулу (2), най­дем , откуда

. (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости Н/м. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы:

.

Убедившись, что полученная единица является еди­ницей жесткости (1 Н/м), подставим в формулу (3) зна­чения величин и произведем вычисления:

.

Пример 6. Шар массой , движущийся горизон­тально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвиж­ным шаром массой . Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

где - кинетическая энергия первого шара до удара; и - скорость и кинетическая энергия второго шара.

Как видно из формулы (1), для определения надо найти . Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

, (2)

. (3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

подставив это выражение в формулу (1) и сократив на и , получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Пример 7. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами г и г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Нью­тона) в проекциях на эту

ось. Для первого груза ; (1)

для второго груза . (2)

Под действием моментов сил и относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направлен­ной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение ε.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

, (3),

где ε = a/r, -момент инерции блока (сплош­ного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесо­мости нити , . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо и выражения и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

/ .

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

(4)

Формула (4) позволяет массы и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускоре­ние - в единицах СИ. После подстановки числовых зна­чений в формулу (4) получим

Пример 8. Маховик в виде сплошного диска радиусом м и массой кг раскручен до частоты вра­щения и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через с. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движе­ния в виде

(1)

где dL_z - изменение проекции на ось z момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал вре­мени dt; M_t - момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относи­тельно оси .

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

. (2)

При вращении твердого тела относительно неподвиж­ной оси изменение проекции момента импульса

(3)

где J _t - момент инерции маховика относительно оси z, - изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим , откуда

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

Дата добавления: 2014-11-16