Контрольная работа № 1

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции. Приведите примеры.

2. Дайте определение экстремума функции.

3. Как найти максимум, минимум функции (два правила)?

4. Приведите пример, когда обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.

5. Как найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции? Примеры.

В ЗАДАЧАХ 1 –10 решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

1. 5x +8y-z= -7, 2. x+2y +z=4,

x+2y+3z =1, 3x-5y+3z =1,

2x-3y +2z=9. 2x +7y- z=8.

3. 3x+2y + z= 5, 4. x+2y+4z=31,

2x+3y+ z =1, 5x+ y+ 2z=29,

2x + y+3z =11. 3x –y+ z=10.

5. 4x-3y +2z=9, 6. 2x-y- z =4,

2x+5y-3z=4, 3x+4y-2z=11,

5x+6y-2z=18. 3x-2y+4z =11.

7. x+ y+2z = -1, 8. 3x-y =5,

2x-y+2z= -4, -2x+ y+ z =0,

4x+ y+ 4z= -2. 2x- y+ 4z=15.

9. 3x –y+ z =4, 10. x+y +z =2,

2x- 5y –3z= -17, 2x- y – 6z= -1,

x + y- z= 0. 3x – 2y = 8.

В ЗАДАЧАХ 11-20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол B в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы AE; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB.

11. A (1;-1), B (4;3), C (5;1). 12. A (0;-1), B(3,3), C(4;1).

13. A(1;-2) B (4;2), C (5;0). 14. A (2;-2), B (5;2), C (6;0).

15. A(0;0), B (3;4), C (4;2). 16. A (0;1), B (3;5), C (4;3).

17. A(3;-2), B (6;2), C (7;0). 18. A (3;-3), B (6;1), C (7;-1).

19. A (-1;1), B (2;5), C (3;3) 20. A (4;0), B(7;4), C (8;2).

В ЗАДАЧАХ 21-30 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

1. записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию вектора на вектор

4. найти площадь грани ABC;

5. найти объём пирамиды ABCD;

21. A (1;2;1), B (-1;5;1), C (-1;2;7), D (1;5;9).

22. A (2;3;2), B (0;6;2), C (0;3;8), D (2;6;10).

23. A (0;3;2), B (-2;6;2), C (-2;3;8), D (0;6;10).

24. A (2;1;2), B (0;4;2), C (0;1;8), D (2;4;10).

25. A (2;3;0), B (0;6;0), C (0;3;6), D (2;6;8).

26. A (2;2;1), B (0;5;1), C (0;2;7), D (2;5;9).

27. A (1;3;1), B (-1;6;1), C (-1;3;7), D (1;6;9).

28. A (1;2;2), B (-1;5;2), C (-1;2;8), D (1;5;10).

29. A (2;3;1), B (0;6;1), C (0;3;7), D (2;6;9).

30. A (2;2;2), B (0;5;2), C (0;2;8), D (2;5;10).

В ЗАДАЧАХ 31-40 найти указанные пределы.

31. 1) а) x₀=2; б) x₀= -1; в) x₀= ¥

2)

32. 1) a) x₀= -1; б) x₀=1; в) x₀=¥.

2)

33. 1) а) x₀=2; б) x₀=-2; в) x₀=¥.

2)

34. 1) а) x₀=1; б) x₀=2; в) x₀=¥.

2)

35. 1) а) x₀= -2; б) x₀= -1; в)= ¥.

2)

36. 1) а) x₀=-1; б) x₀=1; в) x₀=¥.

2)

37. 1) a) x₀=2; б) x₀=-2; в) x₀= ¥

2)

38. 1) a) x₀=1; б) x₀=2; в) x₀=¥.

2)

39. 1) а) x₀= -2; б) x₀= -1; в) x₀=¥.

2)

40. 1) a) x₀= -1; б) x₀=1; в) x₀= ¥.

2)

В ЗАДАЧАХ 41-50 найти производные пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

41. а) б)

в) г)

42. а) б)

в) г)

43. а) б)

в) г)

44. а) б)

в) г)

45. а) б)

в) г)

46. а) б)

в) г)

47. а) б)

в) г)

48. а) б)

в) г)

49. а) б)

в) г)

50. а) б)

в) г)

В ЗАДАЧАХ 51-60 1). исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. 2). Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a;b].

51. a) a= -1; b= 3;

б)

52. а) a= -1; b=2;

б)

53. а) a=2, b=4;

б)

54. а) a= -1, b=2;

б)

55. a) a=0, b=4;

б)

56. а) a=-2, b=3;

б)

57. а) a=-3, b=0;

б)

58. а) a= -3, b=1;

б)

59. а) a=1, b=4;

б)

60. а) a= -1, b=4;

б)

Решить ЗАДАЧИ 61-70 используя понятие экстремума функции.

61. Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6 см?

62. Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

63. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S=24p (м²)

64. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна (м).

64. Объем правильной треугольной призмы равен V= 16 (м³). Какова должна быть длина стороны основания призмы, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?

65. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 (см³), причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

66. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий фор­му прямого кругового конуса заданной вместимости (м³). Каковы должны быть размеры конуса (высота и радиус основания), чтобы на шатер ушло наименьшее коли­чество полотна?

67. Найти прямоугольник наибольшей площади, если сумма длин его катета и гипотенузы постоянна и равна. 4 (см).

68. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

69. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма ' их кубов была наименьшей.

70. Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, дли­на которой 72 м. Каковы должны быть размеры огорода, что­бы его площадь была максимальной?

В ЗАДАЧАХ 71-80 найти приближённое значение функции y=f(x), заменяя приращение функции Dyсоответствующим дифференциалом dy.

71. , x=3,94

72. , x=5,08

73. , x= 5,84

74. , x=4,06

75. , x= -7,85

76. , x= 9,08

77. , x=1,92

78. , x= 7,05

79. , x= -4,03

80. , x= 2,88

В ЗАДАЧАХ 81-90 для кривых в указанной точке A (x₁,y₁) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны.

81. , 82. , A (3;4)

83. y=2x², 84. A (0;1)

85. , A (2;2) 86. , A(1;1)

87. , A 88. , A (1;0)

89. , A (1;1) 90. y =cosx, .

Указания к выполнению контрольной работы № 2

(Темы 7-10)

Дата добавления: 2014-11-16