Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной

Постановка задачи

Пусть — функция n действительных переменных, обладающая некоторой гладкостью. Под гладкостью мы понимаем определенную дифференцируемость функции. Если функция дифференцируема раз в точке , мы пишем Гладкой конечномерной задачей оптимизации без ограничений называется следующая задача:

При решении задачи надо найти отыскать не только абсолютные (глобальные) экстремумы (минимумы и максимумы) функции, но и локальные экстремумы. Точка является точкой локального минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что () для любой точки из этой окрестности. При этом мы пишем (), а если речь идет о минимуме или максимуме, то пишем

Рисунок. Функция с различными экстремальными точками.

Теорема (Ферма). Пусть — функция одного действительного переменного. Если — точка локального экстремума функции и дифференцируема в точке , то .

Доказательство. По формуле Тейлора вблизи точки функция приближенно равна . То есть разность определяется величиной и может быть различна по знаку, что противоречит определению экстремума функции.

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма означает, что касательная к функции в точке параллельна оси ординат.

Для максимума достаточные условия

Дата добавления: 2014-11-18