КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Інтерполяційний багаточлен Лагранжа
Найбільш загальною формулою параболічного інтерполювання є інтерполяційна формула Лагранжа. Задача параболічного інтерполювання в цьому випадку формулюється наступним чином: на відрізку у вузлах інтерполяції задається функція своїми значеннями , необхідно побудувати багаточлен так, щоб у вузлах інтерполяції його значення співпадали зі значеннями заданої функції, тобто …, Слід відзначити, що в такій постановці задачі вузли інтерполяції можуть бути довільно розташовані один від одного на відрізку , іншими словами, вузли інтерполяції не рівновіддалені, тобто . Величина називається кроком інтерполяції. Задача інтерполювання має розв‘язок, якщо степінь m багаточлена яким замінюється функція , не вище порядку (). Тоді задача інтерполювання зводиться до пошуку невідомих постійних коефіцієнтів багаточлена з системи рівнянь, яка будується наступним чином. З початкових умов відомо, що функція в вузлах приймає значення Тоді в вузлі інтерполяційний багаточлен має вигляд в вузлі інтерполяції - і так далі. Нарешті, в вузлі інтерполяційний багаточлен буде виглядати . Запишемо це у вигляді системи рівнянь з невідомими , (5.3) де і табличні значення аргументу і функції, що досліджується. Невідомі коефіцієнти знаходяться по формулам Крамера: , (5.4) де - визначник системи (5.3). Якщо (тобто коли різні), то система (5.3) має єдиний розв’язок. Якщо знайти коефіцієнти , можна уявити інтерполяційний багаточлен у вигляді Перепишемо багаточлен в іншій формі: (5.5) Легко перевірити, що функція повинна задовольняти умовам (5.6) В точках функція обертається в 0, а в точці дорівнює 1. Остаточно отримаємо вираз (5.7)
(5.7) Цей багаточлен називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа. В спрощеному вигляді його можна записати так: (5.8) Даний метод легко алгоритмізується і може використовуватися для розробки програм інтерполяції. Схема алгоритму метода представлена на рисунку 5.3. Рисунок 5.3 – Схема алгоритму метода Лагранжа Приклад: Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для функції заданої таблично.
n=4; m=n-1=4-1=3. Припустимо, що y=a0+a1x+a2x2+a3x3 . Слід пам’ятати, що при екстраполяції функції, чим далі значення х від інтервалу спостереження, тим отримане значення функції містить більшу похибку.
Таким чином: , , , . Висновки: 1. Таким чином за допомогою багаточлена Лагранжа були отримані коефіцієнти інтерполяційної функції : . 2. Використовуючи отриманий багаточлен можливо знайти будь-яке значення функції для заданого . Наприклад, для 3. Використовуючи інтерполяційний багаточлен можливо отримати значення функції за межами спостережень. У даному прикладі інтервал спостереження . Така задача називається екстраполяція (прогнозування функції). Для оцінки похибки інтерполяційного багаточлена Лагранжа використовують формулу: , причому , при
Дата добавления: 2014-11-08; Просмотров: 737; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |