Класифікація простих задач 2 страница

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання? (Відповімо дією додавання.)

Обравши той або інший метод чи спосіб розв’язування сюжетної задачі, потрібно скласти для неї відповідну розв’язуючу математичну модель. Це означає, що якщо обрано арифметичний спосіб розв’язування, то модель будується у вигляді обчислювальної формули або послідовності виконання арифметичних дій (план розв’язування).

ІІІ. Здійснення плану розв’язування задачі. Запис розв’язання і відповіді.

Далі здійснюється власне розв’язання: знаходження результатів кожної з намічених арифметичних дій та встановлення змісту отриманого числа або знаходження значення числового (числових) виразу (виразів) при арифметичному способі розв’язування задачі. Таким чином, відбувається третій етап процесу роботи над задачею.

Наприклад: ІІІ. Запис розв’язання і відповіді

Запиши розв'язання задачі. (Розв'язання: 9+2=11 (шт.) – стільки ж вільх.)

Запиши відповідь. (Відповідь: 11 вільх росло.)

ІУ. Робота над задачею після її розв’язання

Робота над задачею після її розв’язання полягає в перевірці правильності розв’язку. Перевірка розв’язання сюжетних задач може бути прямою або непрямою, у свою чергу кожна з них може бути повною або неповною. Пряма повна перевірка розв’язання задачі полягає в тому, щоб впевнитися у виконанні всіх умов задачі при знайденому (знайдених) значенні шуканого. Неповна перевірка полягає в тому, що перевіряються не всі умови, а лише деякі.

Непряма перевірка проводиться за допомогою складання і розв’язування оберненої задачі. Обернена задача складається шляхом обміну ролями одного з шуканих з якимось із даних, тобто знайдене значення одного з шуканих приймають за дане, а інше з даних вважають шуканим. Якщо в результаті розв’язання оберненої задачі отримують значення, що збігається з обраним даним, то це свідчить, що задача розв’язана правильно.

Непряму перевірку можна здійснити, розв’язавши задачу іншим способом. Якщо задачу можна розв’язати іншим способом, то отримання однакових результатів підтверджує, що задача розв’язана правильно.

Цікавий підхід до відшукування різних арифметичних способів розв’язування задачі запропоновано А.К. Артьомовим. Цей підхід передбачає переформулювання запитання задачі; добір допоміжного запитання; виявлення прихованих логічних основ задачі; наочне оформлення задачі.

У початкових класах застосовуються такі способи прямої перевірки правильності розв’язання:

Встановлення відповідності між числами, які отримані в результаті розв’язання задачі, і даними числами. При перевірці розв’язання задачі таким способом виконуються арифметичні дії над числом, яке було отримане у відповіді на запитання задачі (якщо при цьому отримаємо число, що дано в умові, тоді задача розв’язана правильно). Наприклад, розв’язується задача: „Мама купила по однаковій ціні 3 кг яблук та 2 кг груш. За всю покупку вона заплатила 15 гривень. Скільки окремо коштують яблука та окремо коштують груші?”. Отримуємо відповідь, що яблука коштують 9 гривень, а груші – 6 гривень. Додавши отримані числа (9 + 6 = 15 гривень), маємо число, яке дано в умові задачі. Отже, задачу розв’язано правильно.

Орієнтовна оцінка відповіді (встановлення відповідності шуканого числа області своїх значень). Цей спосіб полягає в тому, що до початку розв’язання задачі встановлюється область значень шуканого числа, тобто визначається більшим або меншим якогось із даних чисел повинно бути шукане число. Після розв’язання задачі перевіряється, чи відповідає отриманий результат встановленій області значень (тоді задачу, можливо, розв’язано правильно), чи ні (тоді розв’язання неправильне)). Цей засіб допомагає виявити помилковість розв’язання і має поєднуватися з іншими способами перевірки.

Виявлення недоліків проведеного розв’язання, пошуки кращого розв’язання, встановлення і закріплення в пам’яті учнів тих прийомів і способів, які були застосовані в даному розв’язанні, виявлення умов можливості застосування цих прийомів і способів – усе це й сприяє перетворенню розв’язування задачі в могутній навчальний та виховуючий засіб. При обговоренні проведеного розв’язання корисно у деяких випадках встановити можливість узагальнення даної задачі, виявити її особливості, зіставити розв’язання даної задачі з раніш розв’язаними тощо.

Розглянемо ще один приклад – роботу над складеною задачею. (Зазначимо, що ця задача пропонується ще до ознайомлення із типовими задачами на спільну роботу.)

2. Кравчиня за годину шиє 24 мішки для посилок, а її учениця - 17 мішків. Скільки мішків для посилок пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години?”

І.Ознайомлення з умовою задачі. Аналіз умови.

- Прочитайте задачу та уявіть, про що в ній говориться. Про що розповідається в задачі? (У задачі розповідається про мішки, які шиє кравчиня і її учениця. У задачі говориться, скільки мішків шиє за годину кравчиня і її учениця окремо, а запитується, скільки мішків пошиють кравчиня і її учениця за 2 години разом.) Запитання передбачає, що кравчиня і її учениця працювали 2 години.

– Розкажіть всю задачу. Розкажіть умову. Розкажіть запитання. Виділіть і поясніть числові дані задачі. Яке число є шуканим?

Запишемо задачу коротко, для цього виділімо ключові слова. Які ключові слова можна виділити? (Кравчиня, учениця.) Запишемо їх у стовпчик. Чи відомо скільки мішків пошила кравчиня за 2 години? (Ні, не відомо, але ми знаємо, що за годину вона пошила 24 мішки, тому за 2 години кравчиня всього пошиє стільки мішків, скільки буде, якщо по 24 мішки взяти 2 рази.) Запишемо це, замість виразу “стільки, скільки” у короткому запису поставимо дві стрілочки. Чи відомо скільки мішків пошиє учениця за дві години? (Ні, не відомо, але ми знаємо, що вона шиє за одну годину 17 мішків, тому за 2 години вона всього пошиє стільки мішків, скільки буде, якщо по 17 мішків взяти 2 рази.) Запишемо це, позначаючи вираз “стільки, скільки” двома стрілочками. Яке запитання задачі? Як його позначити на короткому запису? (У задачі запитується, скільки всього пошили мішків за 2 години кравчиня і учениця разом. Тому, що в задачі запитується, скільки мішків пошили разом кравчиня і учениця, слід поставити фігурну дужку із знаком запитання.)

- За коротким записом поясніть числові дані задачі. (Число 24 означає кількість мішків, що шиє кравчиня за 1 годину. Число 2 позначає, скільки годин працювала кравчиня. Дві стрілочки означають, що кравчиня пошила всього мішків стільки, скільки буде, якщо по 24 мішки взяти 2 рази. Число 17 означає, скільки мішків шиє учениця. Число 2 означає, скільки годин працювала учениця. Дві стрілочки позначають, що учениця всього пошила стільки мішків, скільки буде, якщо по 17 взяти 2 рази. Фігурна дужка означає, скільки мішків всього пошили за дві години кравчиня й учениця разом.)

– Які співвідношення задані в задачі? (У задачі є два співвідношення переходу від меншої одиниці вимірювання до більшої (множення) та одне співвідношення додавання.)

Зазначимо, що співвідношення, що задані в задачі можна трактувати як співвідношення залежності між значеннями пропорційних величин (загальний виробіток, продуктивність праці і час роботи, причому невідомими є значення загальної величини).

- Яке запитання задачі? (Скільки мішків пошиють разом кравчиня і учениця за дві години?) Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: І – скільки всього мішків за 2 години пошиє кравчиня – невідомо та ІІ – скільки всього мішків за 2 години пошиє учениця – невідомо.) Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією додавання.)

– Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки всього мішків пошиє кравчиня, і не знаємо, скільки всього мішків пошиє учениця.)

– Що треба знати, щоб відповісти на запитання “Скільки всього мішків за 2 години пошиє кравчиня? (Треба знати два числові значення: І – скільки мішків шиє кравчиня за 1 годину, відомо – 24, та ІІ – скільки разів слід взяти по 24,тобто скільки годин вона працювала, відомо – 2.) Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією множення, тому що по 24 взято 2 рази.)

– Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Можна, тому що ми знаємо обидва числові значення.)

– Чи закінчено аналіз? (Ні, бо ми поки що не можемо відповісти на запитання задачі.) Чому ми поки що не можемо відповісти на запитання задачі? (Тому, що ми не знаємо, скільки всього мішків за 2 години шиє учениця.)

– Що треба знати, щоб відповісти на це запитання? (Треба знати два числові значення: І – скільки мішків шиє учениця за 1 годину, відомо – 17, та ІІ – скільки разів слід взяти по 17, тобто скільки годин працювала учениця, відомо – 2.) Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією множення, тому що по 17 взято 2 рази.)

– Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Можна, тому що ми знаємо обидва числові значення.) Тепер ми можемо відповісти на запитання задачі? (Можемо, тому що ми від запитання перейшли до числових даних, аналіз закінчено.)

- Розіб'ємо цю задачу на прості. Як ви вважаєте, скільки буде простих задач? (Буде три прості задачі, тому що на схемі три запитання.) Покажемо на схемі кожну просту задачу. Сформулюйте кожну просту задачу та покажіть опорні схеми до них. (1-ша проста задача: “Кравчиня за годину шиє 24 мішки для посилок. Скільки мішків для посилок вона пошиє за 2 години?” 2-га проста задача: “Учениця за годину шиє 17 мішків для посилок. Скільки мішків для посилок вона пошиє за 2 години?”. 3-тя проста задача: “Кравчиня шиє за 2 години 48 мішків для посилок, а учениця за 2 години шиє 34 мішки для посилок. Скільки мішків для посилок пошиють разом кравчиня й учениця за 2 години?”.)

– Якщо задача складається із трьох простих задач, тоді план розв'язування буде складатися із трьох дій. Про що ми дізнаємося першою дією? (Першою дією ми відповімо на запитання першої простої задачі, тому ми дізнаємося, скільки мішків пошиє кравчиня за 2 години.) Про що ми дізнаємося другою дією? (Другою дією ми відповімо на запитання другої простої задачі, тому ми дізнаємося, скільки мішків пошиє учениця за 2 години.) Про що ми дізнаємося третьою дією? (Третьою дією ми відповімо на запитання третьої простої задачі і дізнаємося, скільки мішків пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.)

3) 48 + 34 = 82 (м.) пошиють разом кравчиня і учениця за 2 год.

Запишемо відповідь. (Відповідь: 82 мішки пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.)

ІУ. Робота над задачею після її розв’язання

Або знаходження іншого способу розв’язування спря- мовується додатко-вим запитанням:

Скільки мішків пошиють кравчиня і учениця за 1 годину?

1) 24 + 17 = 41 (м.) – пошиють кравчиня і учениця за 1 год.

2) 41 ∙ 2 = 82 (м.) – пошиють разом кравчиня і учениця за 2 год.

Відповідь: 82 мішки пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.

Наведемо зміст орієнтувальної основи дій учнів при розв’язуванні простих або складених задач:

Пам’ятка для розв’язування простих або складених задач

1. Прочитай задачу та уяви про що в ній розповідається. Про що розповідається в задачі?

2. Виділи ключові слова та склади короткий запис задачі.

3. За коротким записом поясни числові дані задачі та запитання. Зроби схематичний малюнок.

4. Повтори запитання задачі. Що потрібно знати, щоб на нього відповісти?

- Потрібно знати два числових значення: І - … (чи невідомо) та ІІ - … (чи невідомо)

Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі?

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі?

5.Розбий задачу на прості. Сформулюй кожну просту задачу. Покажи опорні схеми до кожної.

6.Склади план розв’язування задачі. Про що ми дізнаємося 1-ою дією? Про що дізнаємося 2-ою дією?...

Діяльність учнів із розв’язання задач являє собою реалізацію основних етапів розв’язування через виконання певних дій. Тому уміння розв’язувати сюжетні задачі - це складне уміння, яке містить комплекс умінь нижчого порядку, що стосуються послідовно виконуваних дій, а саме:

2) уміння подавати результати аналізу у вигляді репрезентативної моделі;

3) уміння співвідносити задачу з раніш вивченими і відтворювати спосіб розв’язування задач даного типу (якщо учню пропонується задача відомого типу);

4) уміння виконувати пошук розв’язування задачі, якщо задача невідомого типу або учень не „впізнав” задачу: при арифметичному методі розв’язування – виконувати аналітичні міркування (від запитання задачі до числових даних) або синтетичні (від числових даних до запитання задачі), при алгебраїчному методі розв’язування – складати рівняння, при геометричному методі розв’язування – виконувати креслення, будувати діаграми або графіки;

5) уміння виконувати операції, які забезпечують розв’язування задачі;

6) уміння перевіряти правильність розв’язку.

Учені виділяють два типи умінь розв’язувати задачі: загальне вміння розв’язування будь-яких задач та вміння розв’язувати задачі певних видів. При формуванні загального вміння розв’язувати задачі предметом навчання і основним змістом повинно бути не лише розв’язання задач, але й їх структура, процес розв’язування задач, методи і способи, що допомагають здійсненню кожного етапу та усього процесу розв’язування в цілому. При формуванні в дітей умінь розв’язувати задачі певних видів предметом навчання і основним змістом навчання є види задач, способи і зразки розв’язування задач конкретних видів. Саме такої думки дитримуються більшість науковців-методистів, а отже, вказують на необхідність формування обох видів умінь: і загальних, і умінь розв’язувати задачі певних видів.

Формування загального вміння розв’язувати задачі арифметичними способами (вони переважають у початковій школі) відбувається спочатку на простих задачах, а далі – на складених задачах. Визначимо операційний склад загального вміння розв’язувати задачі арифметичними способами на матеріалі як простих, так і складених задач (див. табл. 2).

Операційний склад загального вміння розв’язувати задачі

Пор №	Склад загального уміння розв’язувати задачі	Дії, що адекватні арифметичному способу
При розв’язуванні простих задач	При розв’язуванні складених задач
1.	Уміння виконувати предметно-змістовий аналіз задачі	1) виділення умови задачі; 2) виділення запитання задачі; 3) виділення об’єкта (об’єктів) задачі; 4) виділення числових даних і шуканого задачі;
2.	Уміння виконувати логіко-семантичний аналіз задачі	1) виділення слів-ознак окремих видів співвідношень; 2) встановлення виду співвідношення (співвідношень);
3.	Уміння складати репрезентативну модель задачі	1) виділяти ключові слова і відповідні їм числові значення, складати короткий запис задачі у вигляді схеми або визначати величини, що містяться в задачі, виділяти ключові слова і числові значення відповідних величин; записувати задачу у вигляді таблиці; 2) зображати значення величини у вигляді довжини відрізка або за допомогою зображення іншої фігури, наприклад прямокутника; інтерпретувати довжину відрізка як деяку величину, виражати один відрізок через інші; складати схематичний малюнок задачі;
4.	Уміння робити прикидку щодо очікуваного результату	1) виходячи із ситуації задачі, визначати більше чи менше шукане число від одного з даних (наприклад, стало більше, ніж було, залишилося менше, ніж було тощо); 2) співвідносити значення шуканої величини з іншими значеннями цієї самої величини на основі знання характеру зміни однієї величини залежно від зміни другої величини при сталій третій величині (у випадку співвідношення залежності між значеннями різних величин);
5.	Уміння здійснювати пошук розв’язування задачі	1) визначати, яким членом співвідношення є шукане; 2) актуалізувати правило знаходження невідомого компонента даного співвідношення; 3) обґрунтовувати вибір арифметичної дії, засобом якої розв’язується задача;	1) від запитання задачі до числових даних – аналіз; 2) від числових даних до запитання задачі – синтез;
6.	Уміння складати план розв’язування задачі		1) розбивати задачу на прості; 2) встановлювати порядок розв’язання простих задач; 3) формулювати план розв’язування задачі;
7.	Уміння реалізувати знайдений план розв’язування	1) записувати розв’язання; 2) пояснювати виконання дії;	1) записувати розв’язання за діями; 2) пояснювати виконання дії; 3) складати вираз, який є розв’язанням задачі;
8.	Уміння перевіряти правильність розв’язку.	1) складати і розв’язувати обернені задачі; 2) встановлювати відповідність між числами, які отримані в результаті розв’язання задачі і даними числами; 3) встановлювати відповідність шуканого числа області його значень, які очікувались під час прикидки; 4) переходити до розв’язання задачі іншим способом;
9.	Уміння досліджувати з метою узагальнення її математичної структури і формулювання загального плану		1) досліджувати задачу через зміни числових даних задачі, її сюжету та величин; встановлювати, як ця зміна вплине на розв’язання задачі; 2) визначати істотні ознаки задачі та узагальнювати її математичну структуру; 3) узагальнювати спосіб розв’язування задач даної математичної структури;
10.	Уміння співвідносити нову задачу з раніш розв’язаними.	порівнювати задачі даної математичної структури з іншими задачами, математична структура яких схожа на дану; встановлювати, як ця відмінність впливає на розв’язання.

Уміння розв’язувати задачі певних видів містить ті самі дії, що стосуються аналізу задачного формулювання, подання його результатів у вигляді репрезентативної моделі та прикидки очікуваного результату (1- 4); ті самі дії, що стосуються складання та реалізації плану розв’язування, перевірки та дослідження задачі (6-10). Істотною відмінністю є зміст виконуваних дій на етапі пошуку розв’язування задачі: тут учень „впізнає” задачу знайомої математичної структури та актуалізує загальний план або спосіб розв’язування таких задач.