Принципи геостатистичного моделювання

Локально-стохастичні методи просторової інтерполяції і геостатистичне моделювання

У геостатистичному моделюванні передбачається, що властивості точок простору (або комірок растра, якщо йдеться про растрову модель просторових даних) – це просторова реалізація деякої випадкової величини. У більшості випадків приймається, що розподіл цієї випадкової величини підпорядковується нормальному закону розподілу. При цьому в основу просторового аналізу даних і побудови (моделювання) безперервних поверхонь на основі дискретних наборів емпіричних даних з використанням процедур локально-стохастичної інтерполяції, відомих під загальною назвою «кригінг» (або «крайгінг») (на честь південно-африканського гірничого інженера Д.Дж. Кріге (D.G.Krige), в геостатистиці прийнято уявлення про регіоналізовану змінну.

Теорія регіоналізованої змінної (Burrough, McDonnel, 1998) припускає, що просторові зміни деякої змінної z( x ), де x – узагальнене позначення координатпростору х,у, можуть бути виражені як сума трьох компонент (рис. 8.3): 1) структурної компоненти, яка має постійне значення або тренд (детермінована складова); 2) випадкової, але просторово корельованої компоненти, яка є місцевими відхиленнями змінної від тренда, що, власне, і називається «регіоналізованою змінною»; 3) просторово некорельованого випадкового шуму або залишкової похибки. Тоді значення випадкової змінної z в точці x задається виразом:

z( x ) = m( x ) + e’( x ) + e’’, (8.5)

де m(x) – детермінована функція, що описує “структурований” компонент z в х (тренд); e’(x) – складова, що представляє локальні стохастичні, але просторово корельовані відхилення від m(x) – регіоналізована змінна, і e’’ - залишок, просторово незалежний гауссівський шум, що має нульове середнє і дисперсію s².

У найпростішому випадку, коли тренд відсутній, m(x) рівняється середньому значенню в межах обстеженої площі, а середня або очікувана різниця між двома місцеположеннями х і х+ h, розділеними відстанню h, буде дорівнювати нулю:

E[z(x) – z(x + h)]= 0, (8.6)

де z(x), z( x + h) – значеннявипадкової змінної z в точках х і х + h; E[] – математичне очікування змінної, яка стоїть в квадратних дужках. При цьому дисперсія різниці значень змінної в точках простору, розділених h, залежитьтільки від відстані між цими точками, тобто

E[z(x) – z( x + h )] ² = E[{e’(x) – e’( x + h )}] ² = 2g(h), (8.7)

де g(h) – величина, відома як напівдисперсія (або семіваріація).

Висновки, одержані в припущенні, що тренд відсутній, справедливі і для випадку, коли тренд є, але він виключений з використанням функції, що його описує. У зв’язку з цим перший крок геостатистичного аналізу – знаходження функції для опису трендової поверхні (m(x) = f( x )). Після того як детермінований ефект врахований, залишкова варіація є гомогенною і різниця між місцеположеннями є тільки функцією відстані між ними.

У тому випадку, якщо сформульовані вище умови щодо структурованого компонента змінної виконуються, напівдисперсія може бути визначена за вибірковими даними за виразом:

(8.8)

де n – кількість пар точок вимірювань значень змінної z, розділених відстанню h.

Графік залежності g(h) від h, побудований з використанням вибіркових даних, в англомовній літературі відомий як експериментальна або вибіркова варіограма, або просто – варіограма. У вітчизняній науковій літературі цю залежність називається структурною функцією. Експериментальна варіограма – це перший крок на шляху кількісного опису регіоналізованих змінних. Варіограма дає корисну інформацію для інтерполяції, оптимізації мережі вимірювань (або пробовідбору), а також визначення моделі просторового розподілу.

Дата добавления: 2014-11-18