Пример решения задачи 3

F = 42 кН,

q = 8 кН/м,

M = 12 кН·м,

а = 0.8 м,

в = 0.6 м,

с = 1 м,

Рис.2.1.1 , .

1. Для заданной балки (рис.2.1.1) построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Определим реакции R_A, H_A, R_B на опорах А и В из уравнений равновесия балки:

.

.

; .

Для проверки правильности определения реакций R_A и R_B, составим уравнение равновесия в виде проекций всех сил на ось Ζ:

.

Для построения эпюр применяем метод сечений. На каждом из трех участков мысленно проводим сечение. Отбрасываем часть балки, где приложено больше внешних сил. Действие отброшенной части заменяем внутренними силовыми факторами Q_y и М_у, которые находим из уравнений равновесий отсеченной части.

Поперечную силу Q_z считаем положительной, если она стремится повернуть элемент балки относительно сечения против хода часовой стрелки. Изгибающий момент М_у считаем положительным, если он вызывает растяжение верхних волокон.

I участок ()

II участок ()

III участок ()

Cтроим эпюры Q и М (рис. 2.1.2.)

Рис.2.1.2.

Подбор деревянной балки круглого поперечного сечения. Условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

Максимальные нормальные напряжения σ_мах действуют в сечении С (опасное сечение), где изгибающий момент имеет максимальное значение М _мах = 16.4 кН м. Осевой момент сопротивления для круглого вала .

Из условия прочности (1)

Максимальные касательные напряжения τ _мах действуют на участке СВ, где Q_{max =} – 28.4 кН.

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям:

,

где J_max – осевой момент инерции для круга;

– статический момент инерции отсеченной части;

b_z – ширина сечения, где действуют τ_max.

На рис.2.1.3 показаны эпюры нормальных и касательных напряжений. Из эпюры τ видно, что максимальные касательные напряжения действуют в точках, лежащих на нейтральной линии (z = 0). В этом случае

C учетом этого

Рис.2.1.3

Следовательно, условие прочности (2) выполняется; так как τ_adm = 4 МПа, и для схемы подходит деревянная балка диаметром d = 28 см, площадь сечения которой А = 594 см².

Подбор деревянной балки прямоугольного сечения производим аналогично. Для прямоугольного сечения

, т.к. h / b = 2 (3)

Из условия прочности (1) с учетом (3) получим:

следовательно, h = 29 см, b = 14.5 см.

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям (2). Для прямоугольного сечения.

.

Откуда

при .

Cледовательно, для данной схемы нагружения подходит деревянная балка прямоугольного сечения размерами b = 14.5 см;

h = 29 см с площадью поперечного сечения А = 422 см².

Площадь прямоугольного сечения оказалась значительно меньше площади круглого сечения, что приводит к экономии материала.

Приложение

Рис. 1.

Рис.2.

Рис. 3.

Дата добавления: 2014-11-18