Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Допомогою другої похідної




Теорема 11.5. Нехай і друга похідна неперервна в деякому околі точки х1, тоді при функція має максимум, якщо , і – мінімум, якщо .

Доведення. Доведемо першу частину теореми. Нехай і . З неперервності функції в деякому околі точки х1 випливає, що можна знайти відрізок , якому належить точка х1 і в якому виконуватиметься умова .

Оскільки – перша похідна функції , то з умови виходить, що спадає на відрізку . Але і функція неперервна на , тому що неперервна її похідна. Отже, для має місце , коли , і , коли . Таким чином, похідна під час переходу зліва направо через точку х1 змінює свій знак з “ + ” на “–”, а це означає (див. теорему 11.4), що в точці х1 функція набуває максимуму.

Аналогічно доводиться друга частина теореми

Зауваження 11.1. Якщо в критичній точці х1 друга похідна дорівнює нулю, тобто , то дана теорема не дає відповіді на запитання про існування екстремуму в точці х1 , і дослідження потрібно проводити за допомогою теореми 11.4.

Теорема 11.5 в деяких випадках спрощує дослідження функції на екстремум: в п. 4) приведеної на початку параграфа схеми треба знайти тільки другу похідну і її знак у критичній точці.

Приклад 11.6. Дослідити на екстремум функцію

.

Розв’язування. Функція визначена на всій числовій прямій. Знаходимо першу й другу похідну:

.

Шукаємо критичні точки функції:

.

Звідси або , де

Відрізку належить тільки одна критична точка . Знайдемо значення другої похідної при :

.

Таким чином, на відрізку функція має тільки один екстремум, а саме, максимум:

.

 

11.7. Найбільше та найменше значення функції

на відрізку.

Якщо функція неперервна на відрізку , то на цьому відрізку вона досягає свого найменшого і найбільшого значень (див. теорему 5.2). Очевидно (див. рис. 11.4), що неперервна функція може набувати своїх найменших та найбільших значень у точках екстремуму або на кінцях відрізка, що розглядається. Тому для відшукання найбільшого та найменшого значень функції на відрізку можна запропонувати таку схему:

1. знаходимо екстремуми функції на заданому відрізку;

2. знаходимо значення функції на кінцях відрізка;

3. із здобутої множини значень функції вибираємо її найменше і найбільше значення.

Приклад 11.7. Знайти найменше і найбільше значення функції на відрізку .

Розв’язання. 1) Знаходимо екстремуми функції:

а) ;

б) критичні точки функції:

.

Отримаємо

або

.

Відрізку належать тільки дві критичні точки , . Знаходимо значення функції в цих точках:

,

.

2) Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

,

.

3) Таким чином,

,

.

 

11.8. Застосування теорії екстремумів до




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 1034; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.