Матрицы, ранг матрицы

Экстремум функций двух переменных.

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x 0, y 0). Говорят, что (x 0, y 0) – точка (локального) максимума, если для всех точек (x, y) некоторой окрестности точки (x 0, y 0) выполнено неравенство f (x, y)< f (x 0, y 0). Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие f (x, y)> f (x 0, y 0), то точку (x 0, y 0) называют точкой (локального) минимума.

Точки максимума и минимума часто называют общим термином – точки экстремума.

Если (x 0, y 0) – точка максимума, то значение функции f (x 0, y 0) в этой точке называют максимумом функции z = f (x, y). Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции z = f (x, y). Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином – экстремумы функции.

Алгоритм исследования функции z = f (x, y) на экстремум

1. Найти частные производные ∂ z ∂ x и ∂ z ∂ y. Составить и решить систему уравнений ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂ z ∂ x =0;∂ z ∂ y =0.. Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.
2. Найти ∂2 z ∂ x 2, ∂2 z ∂ x ∂ y, ∂2 z ∂ y 2 и вычислить значение Δ=∂2 z ∂ x 2⋅∂2 z ∂ y 2−(∂2 z ∂ x ∂ y)2 в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:
1. Если Δ>0 и ∂2 z ∂ x 2>0 (или ∂2 z ∂ y 2>0), то в исследуемая точка есть точкой минимума.
2. Если Δ>0 и ∂2 z ∂ x 2<0 (или ∂2 z ∂ y 2<0), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
3. Если Δ<0, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
4. Если Δ=0, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Пример №1

Исследовать на экстремум функцию z =4 x 2−6 xy −34 x +5 y 2+42 y +7.

Решение

Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:

∂ z ∂ x =8 x −6 y −34;∂ z ∂ y =−6 x +10 y +42.

Составим систему уравнений ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂ z ∂ x =0;∂ z ∂ y =0.:

{8 x −6 y −34=0;−6 x +10 y +42=0.

Сократим каждое уравнение этой системы на 2 и перенесём числа в правые части уравнений:

{4 x −3 y =17;−3 x +5 y =−21.

Мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Мне в этой ситуации кажется наиболее удобным применение метода Крамера для решения полученной системы.

Δ=∣∣∣4−3−35∣∣∣=4⋅5−(−3)⋅(−3)=20−9=11;Δ x =∣∣∣17−21−35∣∣∣=17⋅5−(−3)⋅(−21)=85−63=22;Δ y =∣∣∣4−317−21∣∣∣=4⋅(−21)−17⋅(−3)=−84+51=−33. x =Δ x Δ=2211=2; y =Δ y Δ=−3311=−3.

Значения x =2, y =−3 – это координаты стационарной точки (2;−3). Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

∂2 z ∂ x 2=8;∂2 z ∂ y 2=10;∂2 z ∂ x ∂ y =−6.

Вычислим значение Δ:

Δ=∂2 z ∂ x 2⋅∂2 z ∂ y 2−(∂2 z ∂ x ∂ y)2=8⋅10−(−6)2=80−36=44.

Так как Δ>0 и ∂2 z ∂ x 2>0, то согласно алгоритму точка (2;−3) есть точкой минимума функции z. Минимум функции z найдём, подставив в заданную функцию координаты точки (2;−3):

zmin = z (2;−3)=4⋅22−6⋅2⋅(−3)−34⋅2+5⋅(−3)2+42⋅(−3)+7=−90.

Ответ: (2;−3) – точка минимума; zmin =−90.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn.

Дата добавления: 2014-11-08