Определенный интеграл. Задача. Вычислить среднее значение Yср для функции f(x) номер W на отрезке [a, b]

Задача. Вычислить среднее значение Y_ср для функции f(x) номер W на отрезке [a, b]

а) по формуле Ньютона-Лейбница,

б) методом Рунге-Ромберга по формуле трапеций.

0. f(x)= , a=1.0, b=3.0.

1. f(x)= , a=1.2, b=3.6.

2. f(x)=cos²(x)´sin(x), a=0.0, b=1.2.

3. f(x)= f(x)=x²´e^-x, a=0.0, b=8.0.

4. f(x)=sin²(x)´cos(x), a=1.2, b=3.6.

5. f(x)=x´ , a=-2.0, b=0.0.

6. f(x)= , a=-5.0, b=-1.0.

7. f(x)= , a=-9.0, b=-1.0.

8. f(x)= , a=-0.8, b=0.8.

9. f(x)= , a=0.0, b=6.0.

10. f(x)=8´x²+ -8´ , a=0.4, b=2.0.

11. f(x)=8- - , a=-6.5, b=-2.5.

12. f(x)= , a=0.0, b=6.0.

13. f(x)= , a=4.0, b=10.0.

14. f(x)= , a=-6.0, b=0.0.

15. f(x)= , a=-1.8, b=-0.2.

16. f(x)= , a=-1.0, b=-0.2.

17. f(x)= , a=-3.2, b=0.0.

18. f(x)= , a=1.0, b=7.0.

19. f(x)= , a=12.0, b=20.0.

Пример. W=18.

f(x)=3´x⁵´cos(x³), a=1.1, b=1.7.

Решение. Вычислим площадь

F=

а) по формуле Ньютона-Лейбница: F=F_NL= =F(b)-F(a).

1-й этап.

F(x)= =

= =

= = =

= =

=t´sin(t)- =t´sin(t)+cos(t)=F(t).

Найдем пределы по переменной t:

x=a=1.1, a_t= =1.33, x=b=1.7, a_t= =4.91.

2-й этап.

F=F_NL= = =

= =

=ásin(4.91)=-0.98, cos(4.91)=0.20,

sin(1.33)=0.97, cos(1.33)=0.24ñ=

=(-4.82+0.20)-(1.29+0.24)=-6.15.

Итак, F_NL=-6.15. Y_ср=Y_NL= = =-10.25.

б) методом Рунге-Ромберга по формуле трапеций.

1. Функцию f(x) на отрезке [a,b] представляем таблицей {xt_i,yt_i} объемом n=4.

h= =0.15.

xt₀=a=1.10, xt_i=xt_i-1+h, i= , (xt_n=b=1.70),

yt_i=f(xt_i), i= .

Результат нашей работы показан ниже.

i
xti	1.10	1.25	1.40	1.55	1.70
yti	1.15	-3.42	-14.88	-22.42	8.49
j

2. Вычисляем значение определенного интеграла по формуле трапеций на шаге h:

F_h= =

= =-5.38.

3. Оставляем в таблице отсчеты с четными номерами i, заново их нумеруем (j). Теперь объем таблицы равен n2= =2, ее шаг h2=2´h=0.30, а отсчеты обозначим как yt2_j. Вычисляем значение определенного интеграла на шаге h2:

F_2h= =

= =-3.02.

4. Вычисляем поправку Рунге и значение определенного интеграла по формуле Рунге-Ромберга:

PR= =-0.79. F_RR=F_h+PR=-6.17.

5. Проверяем условие ïF_NL-F_RRï<ïPRï:

ïF_NL-F_RRï=0.03<ïPRï=0.79.

Находим Y_ср=Y_RR= = =-10.28.

Оцениваем относительную погрешность для Y_ср:

= =0.29%.

Дата добавления: 2014-11-18