Элементарные функции

I Основные элементарные функции

К основным элементарным функциям относят константы, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.

1) Константы y = Const.

D (y) = R, E (y) = { c }.

не существует, четная.

График – прямая, параллельная оси абсцисс.

2) Степенные .

D (y)и E (y)зависят от a, но " a (0, + ¥)Ì D (y).

Четность-нечетность зависит от a.

Обратная для есть .

Для a< 0оси координат – асимптоты.

3) Показательные (0< a ¹1).

D (y) = R, E (y) = (0, + ¥).

Функция общего вида.

Ось абсцисс – асимптота.

Обратная для функции есть логарифмическая функция .

4) Логарифмическая (0<a¹1).

D (y) = (0, + ¥), E (y) = R.

Функция общего вида.

Ось ординат – асимптота.

Обратная для логарифмической – показательная функция.

В математическом анализе в основном используют натуральные логарифмы ln x, т.е. логарифмы с основанием a=e= 2,7…

5) Тригонометрические

а) .

D (y) = R, E (y)= [-1, 1].

Нечетная.

Периодическая, .

б) .

D (y) = R, E (y) = [-1, 1].

Четная.

Периодическая, .

в) .

D (y) = R \ { , kÎZ },

E (y) = R.

Нечетная.

Периодическая, .

Прямые - асимптоты.

г) .

D (y) = R \ { kp, kÎZ }, E (y) = R

Нечетная.

Периодическая, .

Прямые x = kp - асимптоты.

6) Обратные тригонометрические

При определении этих функций выбираются следующие участки монотонности: для синуса - , для косинуса - [0, p ], для тангенса - , для котангенса - (0, p).

Определение, например, арксинуса:

arcsin a – это угол a Î такой, что sina= a. Остальные функции определяются аналогично.

а) .

D (y) = [-1, 1], E (y) = .

Нечетная.

б) .

D (y) = [-1, 1], E (y) = [0, p ].

arccos(-x) = p - arccos x.

arcsin x + arccos x = .

в) .

D (y) = R, E (y) = .

Нечетная.

Прямые - асимптоты.

г) .

D (y) = R, E (y) = (0, p).

arcctg(-x) = p - arcctg x.

Прямые y = 0 и y = p - асимптоты.

Замечание. Иногда к основным элементарным функциям относят еще и т.н. гиперболические функции и обратные к ним. Все эти функции достаточно просто выражаются через показательную и логарифмическую функции.

а) синус гиперболический : D (y) = R, E (y) = R, нечетная; обратная функция имеет вид y = Arsh x = .

б) косинус гиперболический : D (y) = R, E (y) = [1, +¥), четная; обратная функция имеет вид y = Arch x = , (у функции ch x берется ветвь ).

в) тангенс и котангенс гиперболические определяются так же как и в тригонометрии:

, .

Обратная функция для y = th x – это y = Arth x = . Графики гиперболических функций:

II Элементарные функции

Определение. Элементарной называют функцию, которая может быть задана явно одной формулой, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций, примененных к основным элементарным функциям.

Следует отметить, что некоторые функции, заданные несколькими формулами (т.е., вообще говоря, неэлементарные) иногда удается записать одной формулой. Примером служит функция y = | x |. По определению

В то же время имеем: . Таким образом, функция y = | x | - элементарная. Ее график:

III Примеры неэлементарных функций

1)

(читается «у равно сигнум х»).

2) y = [ x ], где [ x ] - целая часть числа x

(читается «y равно антье x»).

Эта функция неэлементарная, ибо задается не формулой, а словесно:

[ x ] - наибольшее целое, не превосходящее x.

Отметим одно свойство: .

3) y = { x }, где { x }-дробная часть числа x, т.е. { x } = x - [ x ].

Лекция 2

Дата добавления: 2014-11-08