Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Знакочередующиеся ряды




 

Знакочередующимися рядами называются ряды вида

 

u1 - u2 + u3 - u4 +......, (7.19)

где все un > 0.

Сходимость таких рядов исследуется по теореме Лейбница: если в знакочередующемся ряде u1 - u2 + u3 - u4 +......, un > 0 все члены таковы, что u1 > u2 > u3 >u4 .... и , то ряд (4.51) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда u1.

Доказательство. Возьмем сумму четного числа первых членов S 2m, которая положительна.

 

S2m = (u1 - u2 ) + (u3 - u4 ) +......+ (u2m-1 – u2m) > 0,

 

так как выражение в каждой скобке больше нуля.

S2m возрастает при росте m, т.к. S2m = S2(m-1) + (u2m-1 – u2m) > S2(m-1).

С другой стороны

 

S2m = u1 - (u2 - u3 ) - (u4 – u5)......- (u2m-2 - u2m-1) – u2m < u1.

 

т. е. при росте m S2m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, имеет предел S= = .

Нечетные суммы будут иметь тот же предел S2m+1 = S2m + u2m+1

 

+ = S + 0 = S.

.

Четные и нечетные суммы ряда имеют тот же предел, следовательно, ряд сходится. Теорема доказана.

По знакочередующемуся ряду можно построить соответствующий ему положительный ряд u1 + u2 + u3 + u4 + un +.... Если такой положительный ряд сходится, то знакочередующийся ряд называют абсолютно сходящимся, в противном случае ряд называют условно сходящимся. В абсолютно сходящемся ряде члены ряда можно переставлять без потери сходимости, в условно сходящемся ряде перестановка членов ряда запрещена, т.к. она может привести к потере сходимости.

Глава 8. Степенные ряды

 

Функциональнымрядом называется ряд, членами которого являются функции от аргумента x

u1(x) + u2(x) + u3(x) +... + un(x) +... = (8.1)

Если в членах ряда (8.1) зафиксировать значение аргумента x=x0, то получим числовой ряд

 

u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + un(x0) +.... (8.2)

 

Если при x=x0 числовой ряд (8.2) сходится, то x0 называется точкой сходимости ряда (8.1).

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех точек сходимости этого ряда. Если значение x0 принадлежит области сходимости ряда (8.1), то можно говорить о сумме этого ряда в точке x=x0:

 

u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + un(x0) +... = S(x0).

 

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной x, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной x.

Степенным рядом по степеням x называется функциональный ряд вида

а0 + а1x + а2x2 +... аnxn +... = (8.3)

 

где а0, а1,... аn,... не зависят от переменной x и называются коэффициентами этого ряда.

Степенной ряд (8.3) всегда сходится, по крайней мере, в точке x =0. При любых конкретных x=x0 ряд (8.3) превращается в числовой ряд

 

а0 + а1x0 + а2x02 +... аn x0n +... (8.4)

 

Степенной ряд (8.3) сходится в точке x0 абсолютно, если сходится ряд образованный из модулей членов числового ряда (8.4)

 

½а0½ + ½а1x0½ + ½а2x02½ +... ½аn x0n½ +....

 

Нахождение области сходимости степенного ряда. Найдем область сходимости ряда (8.3), используя признак Даламбера для положительных числовых рядов. По этому признаку ряд (5.3) сходится, если

Следовательно, по признаку Даламбера ряд (8.3) заведомо сходится при

и расходится при .

Величина (8.5)

 

называется радиусом сходимости ряда (8.3). Ряд заведомо сходится в интервале ½x½ < R или -R < x < R, который называется интервалом сходимости.

Признак Даламбера ничего не говорит о сходимости ряда в точках х = . В этих точках сходимость ряда исследовать отдельно.

Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. при x = R и x = -R.

Пример 1. Исследовать на сходимость степенной ряд

Решение. Используя формулу (8.5), имеем

Интервал сходимости данного ряда характеризуется неравенством ½x½ < 2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках x=±2. Очевидно, что

Оба эти ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости численных рядов. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с интервалом сходимости.

Пример 2. Найти область сходимости следующего ряда

1 + x + 22x2 + 33x3 +... + nnxn +... = 1 +

Решение. По формуле (5.5) найдем

Следовательно, ряд сходится только в одной точке x =0.

Пример 3. Найти область сходимости следующего ряда:

Решение. Так как

то ряд сходится при всех конечных значениях x, т.е. -¥ < x <¥.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 553; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.