Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обчислень




Властивості диференціала.

Якщо і – диференційовані функції, то:

1. , де .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо , де , то . Тобто диференціал складної функції має такий вигляд, якого б він отримав при незалежному проміжному аргументу u.

Доведення Вл. 4. З означення диференціала маємо

,

так як і .

Доведення Вл. 5. Дійсно, з означення диференціала

,

так як .

Приклад 9.2. Знайти диференціал функції .

Розв’язування. Запишемо дану функцію у вигляді , де . Тоді

або ,

тобто .

 

9.2. Застосування диференціала для наближених

З рівності (9.1) і означення диференціала маємо , тому приріст функції з точністю до числа можна замінити диференціалом , тобто . Причому остання рівність буде тим точнішою, чим менше . Перепишемо її у вигляді

або

. (9.2)

Покаже на прикладі, як за допомогою формули (9.2) можна проводити наближені обчислення.

Приклад 9.3. Обчислити .

Розв’язування. Запишемо рівність (9.2) у вигляді

.

В нашому прикладі , . Знайдемо :

;

.

Таким чином,

.

 

9.3. Похідні вищих порядків.

Розглянемо диференційовану на деякому інтервалі функцію . Похідна , взагалі кажучи, залежить від змінної х, тобто є новою функцією аргументу х, для якої можна ставити питання про обчислення похідної.

Означення 9.2. Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку або другою похідною від початкової функції і позначається або .

Згідно з означенням .

В свою чергу друга похідна також є функцією аргументу х і її можна диференціювати.

Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку або третьою похідною і позначається або .

Аналогічно вводиться похідна будь-якого порядку: похідна від похідної -го порядку називається похідною n -го порядку або n -ю похідною і позначається або . Таким чином

.

Похідні позначаються римськими цифрами або взятими в дужки арабськими, щоб розрізняти з показником степеня.

Приклад 9.4. Знайти похідну четвертого порядку для функції

.

Розв’язування.

 

9.4. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція диференційована на деякому інтервалі . Її диференціал є деякою функцією аргументу х. Але від х залежить тільки множник , а диференціал є приростом аргументу і від значення х не залежить. Таким чином, можна ставити питання про обчислення диференціала від функції .

Означення 9.3. Диференціал від диференціала функції називається другим диференціалом або диференціалом другого порядку цієї функції і позначається або .

З означення диференціала випливає, що:

.

Величина не залежить від х і ми винесли її за знак похідної. Замість прийнято писати , розуміючи під цим не , а .

Диференціал від другого диференціала називається третімдиференціалом або диференціаломтретьогопорядку і позначається або . Аналогічно другому диференціалу отримаємо

Диференціалом n -гопорядку або n -м диференціалом називається диференціал від (n-1) -го диференціала:

або

.

За допомогою диференціалів різних порядків можна виразити відповідні похідні:

.

Приклад 9.5. Знайти диференціал третього порядку для функції

.

Розв’язування. З означення третього диференціала маємо

.

Знайдемо :

,

,

Таким чином,

 

9.5. Похідна другого порядку функції, заданої




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 259; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.