Числовое выражение и его значение

Отношение порядка. Упорядоченные множества

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно транзитивно и асимметрично.

Примеры отношений строгого порядка: «больше» на множестве натуральных чисел, «выше» на множестве людей и др.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением нестрогого порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Примеры отношений нестрогого порядка: «не больше» на множестве действительных чисел, «быть делителем» на множестве натуральных чисел и др.

Определение. Множество Х называют упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5} заданы два отношения: «х £ у» и «х – делитель у».

Оба эти отношения обладают свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности (постройте графы и проверьте свойства самостоятельно), т.е. являются отношением нестрогого порядка. Но первое отношение обладает свойством связности, а второе – нет.

Определение. Отношение порядка R на множестве Х называется отношением линейного порядка, если оно обладает свойством связности.

В начальной школе изучаются многие отношения порядка. Уже в первом классе водятся отношение «меньше», «больше» на множестве натуральных чисел, «короче», «длиннее» на множестве отрезков и др.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х.

2. Как записать утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R?

3. Перечислите способы задания отношений.

4. Сформулируйте свойства, которыми могут обладать отношения. Как данные свойства отражаются на графе?

5. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением эквивалентности?

6. Как отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы?

7. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением порядка?

Глава 7. Выражения. Уравнения. Неравенства

Записи 3 + 8, 2 ∙ 7, (38 – 2): 4 называют числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Дадим определение числового выражения в общем виде.

Определение. Каждое число является числовым выражением. Если А и В – числовые выражения, то (А) + (В), (А) – (В), (А) ∙ (В), (А): (В) тоже являются числовыми выражениями.

Выражения называют в зависимости от того, какое действие выполняется последним. Так выражение 142: 2 + 15 ∙ 4 называют суммой, т.к. последним в нем выполняется действие сложение, а выражение 24 – 3 ∙ 5 называют разностью, т.к. последним выполняется действие вычитание.

В математике применяют следующие способы упрощения записи числовых выражений:

1) опускают скобки, содержащие лишь одно число: вместо записи (3) + (5) пишут 3 + 5;

2) опускают скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем операции выполняются по порядку слева направо. точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо: 3 ∙ 9 ∙ 24: 8: 2;

3) т.к. условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание), то выражение (2 ∙ 3 ∙ 5) – (8: 2: 2) записывают так: 2 ∙ 3 ∙ 5 – 8: 2: 2.

Выполнив действия, указанные в выражении, мы получим число, называемое значением числового выражения. Так, значение выражения 24 – 3 ∙ 5 равно 9.

Если выражение состоит из одного числа, то значением выражения является само число. Для более сложных выражений порядок вычисления значений таков:

1) Если числовое выражение не содержит скобок, то сначала надо вычислить значения тех частей, выражения, в которые входят лишь операции умножения и деления, выполняя эти операции слева направо. после этого надо заменить соответствующие части выражений их значениями и выполнить их слева направо.

2) Если выражения содержат скобки, то надо взять все пары левых и правых скобок, внутри которых нет иных скобок и вычислить их значения по правилу 1. Если же скобки остались, то надо повторить операцию 2 с оставшимися скобками.

Пример. Найдите значение числового выражения ((36: 2 – 14) ∙ (42 ∙ 2 – 14) + 20): 2.

1) 36: 2 = 18;

2) 18 – 14 = 4;

3) 42 ∙ 2 = 84;4) 84 – 14 = 70;

5) 4 ∙ 70 = 280;

6) 280 + 20 = 300;

7) 300: 2 = 150.

Следует заметить, что не всякое числовое выражение имеет значение. Так, выражение
15: (5 – 5) не имеет значения во множестве действительных чисел, т.к. на нуль делить нельзя. Выражение (14 – 5): 2 не имеет значения во множестве целых чисел, т.к. результат деления 9 на 2 множеству целых чисел не принадлежит.

Дата добавления: 2014-11-18