Оптимальное распределение ресурсов

Пусть имеется некоторое количество ресурсов х, которое необходимо распределить между п различными предприяти­ями, объектами, работами и т.д. так, чтобы получить мак­симальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения.

Введем обозначения: x_i — количество ресурсов, выделен­ных i-му предприятию (i = 1,n);

(x_i) — функция полезности, в данном случае g_i это величи­на дохода от использования ресурса x_i, полученного i-м пред­приятием;

f_k(x) — наибольший доход, который можно получить при использовании ресурсов х от первых к различных предприя­тий.

Сформулированную задачу можно записать в математи­ческой форме:

_n

f_n(x) = max ∑ g _i (x_i)

ⁱ⁼¹

при ограничениях:

_n

∑ x _i =x

ⁱ⁼¹

x _i ≥ 0, i=1,n

Для решения задачи необходимо получить рекуррентное соотношение, связывающее f_k(x) и f_k-1(x).

Обозначим через х_k количество ресурса, используемого k-м способом (0 ≤ х_k ≤ х), тогда для (к — 1) способов остается ве­личина ресурсов, равная (х — х_k). Наибольший доход, который получается при использовании ресурса (х—х_k) от первых (к—1) способов, составит f_k-₁(x — х_k).

Для максимизации суммарного дохода от k-го и первых (к — 1) способов необходимо выбрать х_k таким образом, чтобы выполнялось соотношения

f₁(x)=g₁(x),

f_k (x)= max {g_k (x _k)+ f_k-1(x-x_k)}, k = 2,n.

Рассмотрим конкретную задачу по распределению капита­ловложений между предприятиями.

Дата добавления: 2014-11-08